Beste wiskundigen,
Laat ik mijn vraag simpel houden: Hoe kan ik de inhoud van een willekeurige (ronde!) poel berekenen?
Ik kom maar niet tot de juiste oplossing en zie niet waar het fout gaat.
Een poel kan heel ruw gezien worden als een cilinder. De inhoud hiervan is uiteraard geen probleem. Het echte probleem komt door de hellingen die aanwezig zijn. Vaak is de noordhelling en zuidhelling verschillend in hellingsgetal (of hellingsverhouding vaak 1:4 of 1:6 o.i.d.). Ik stel deze hellingen voor als twee prisma's. De inhoud van deze prisma's samen trek ik af van de inhoud van de cilinder. Omdat een poel rond is en een prisma hoekig gebruik ik een correctie factor van 0.785... Deze correctie factor onstaat alsvolgt;
Voorbeeld:
Stel je hebt een vierhoek van 4 bij 4. Teken hier in cirkel in. De straal van de cirkel is dan 2.
Oppvl vierhoek = 16
Oppvl cirkel = 12.57
Het procentuele verschil tussen deze oppervlakten is dan 0.785...
Of het helemaal correct is om de totale inhoud van beide prisma's dan ook te vermenigvuldigen met deze factor laat ik even in het midden, maar daar kan volgens mij niet het grootste verschil in de uitkomst vandaan komen.
Het komt er op neer dat bij een kleine straal en diepte van de poel (bijv. beide 2 meter) de hellingen(=prisma's) samen meer inhoud hebben dan de cilinder en dit is niet correct uiteraard.
De inhoud van de prisma's bereken ik alsvolgt;
Inhoud(prisma)=Oppvl. grondvlak x hoogte
Hierbij neem ik 2 maal de straal als hoogte.
Het grondvlak(driehoek) bereken m.b.v. de diepte van de poel en het hellingsgetal.
Dus; 1/2 x diepte x lengte(=diepte/hellingsgetal) || Hellingsgetal = (verticale verpl./horizontale verpl.),dus is de lengte die ik nodig heb voor de berekening van de Oppvl. driehoek de horizontale verplaatsing.
Kan iemand vertellen waar het fout gaat? Of hoe ik het anders moet aanpakken?
Alvast bedankt voor de reactie!
Inhoud poel berekenen
Re: Inhoud poel berekenen
De prisma-benadering lijkt me wat bezwaarlijk. Als je de noord en zuidhelling een waarde geeft (prisma), blijven de oost en westhelling van de poel loodrecht naar beneden gaan.
Bovendien denk ik dat het verstandig is om voorzichtig om te gaan met het generaliserend gebruik van correctiefactoren: een wiskundige zal je altijd vragen de correctheid hiervan te bewijzen, en ik ben bang dat dat in dit geval niet lukt.
Is het wellicht niet beter de poel te zien als een scheve kegel (in het Engels: oblique cone) met de top naar beneden gericht? Zie bv http://www.mathwords.com/o/oblique_cone.htm of
http://en.wikipedia.org/wiki/Cone_(geometry)
Dan geldt voor het volume V = Bh/3, waarbij B = oppervlakte basis (=oppervlakte cirkel = (pi) r^2) en h de ten opzichte van de basis loodrechte hoogte van de top.
In een poel lijkt me overigens h (= diepste punt van de poel) relatief klein tov r.
Net als bij berekening van de oppervlakte van een driehoek maakt het niet uit waar de top ligt, maar is alleen de hoogte tov de basis van belang.
We kunnen de top dus zodanig plaatsen dat de helling van noord en zuidkant dan een geschikte waarde krijgen. Let op dat bij gegeven straal r en gegeven noord- en zuidhelling zowel de locatie van de top als de hoogte (=diepte van de poel) vastliggen. Als dit te diep wordt zou je ook nog kunnen overwegen de scheve kegel af te knotten (de top er van af te halen, waardoor er op een gewenste diepte van de poel een vlak plateau ligt).
Kom je hiermee vooruit?
Bovendien denk ik dat het verstandig is om voorzichtig om te gaan met het generaliserend gebruik van correctiefactoren: een wiskundige zal je altijd vragen de correctheid hiervan te bewijzen, en ik ben bang dat dat in dit geval niet lukt.
Is het wellicht niet beter de poel te zien als een scheve kegel (in het Engels: oblique cone) met de top naar beneden gericht? Zie bv http://www.mathwords.com/o/oblique_cone.htm of
http://en.wikipedia.org/wiki/Cone_(geometry)
Dan geldt voor het volume V = Bh/3, waarbij B = oppervlakte basis (=oppervlakte cirkel = (pi) r^2) en h de ten opzichte van de basis loodrechte hoogte van de top.
In een poel lijkt me overigens h (= diepste punt van de poel) relatief klein tov r.
Net als bij berekening van de oppervlakte van een driehoek maakt het niet uit waar de top ligt, maar is alleen de hoogte tov de basis van belang.
We kunnen de top dus zodanig plaatsen dat de helling van noord en zuidkant dan een geschikte waarde krijgen. Let op dat bij gegeven straal r en gegeven noord- en zuidhelling zowel de locatie van de top als de hoogte (=diepte van de poel) vastliggen. Als dit te diep wordt zou je ook nog kunnen overwegen de scheve kegel af te knotten (de top er van af te halen, waardoor er op een gewenste diepte van de poel een vlak plateau ligt).
Kom je hiermee vooruit?