Spelletje met stokken

[wnvl]

2 personen hebben elk een stok met gelijke lengte. Elke persoon snijdt zijn stok in n stukken. De stukken van elke persoon worden door elkaar gehaald, en vervolgens stuk per stuk vergeleken met de stukken van de andere persoon. Wanneer het stuk van een persoon groter is dan dat van een andere persoon krijgt hij een punt. De persoon met de meeste punten wint het spel.

Wat is de beste strategie om de stok in stukken te snijden?

[Sjoerd Job]

gelijke lengte
n gelijke stukken

Niet genoeg vrijheid om ook maar een winner te kiezen.

Als je bedoelt: in n stukken (met n hetzelfde voor allebei)
moet ik nog even nadenken... mogelijke kanshebbers:
- n gelijke stukken
- 1 heel klein verwaarloosbaar stukje, en dan n-1 gelijke stukken
- iets met een fibonacci-verdeling (geen idee hoe).

[wnvl]

Als je bedoelt: in n stukken (met n hetzelfde voor allebei)

Dat is wat ik bedoel, vraag is aangepast.

[op=op]

Wat doet je tegenstander? Is die net zo slim dan jij dan is de kans fifty-fifty.
Zijn zijn stukken allen even groot, dan kies jij alle stukken op 1 na net iets groter dan 1/n.


Iets actuelers.
Bij het polsstokhoogspringen brak een van de deelnemers zijn stok. Wat mij op viel is dat zijn stok in drieën brak. Is dat niet uiterst merkwaardig. Je verwacht toch hooguit één breuk.
Hoe verklaar je die dubbele breuk.

[wnvl]

Wat doet je tegenstander? Is die net zo slim dan jij dan is de kans fifty-fifty.
Zijn zijn stukken allen even groot, dan kies jij alle stukken op 1 na net iets groter dan 1/n.

Als je de tactiek kent van de tegenspeler is het niet moeilijk. Als je die niet kent moet er ook een optimale strategie bestaan. Ik kan mij inbeelden dat 1 heel groot stuk en n-1 miniscuul kleine stukjes niet optimaal is.
Voor het bepalen van de optimale strategie, zou ik ervan uitgaan dat de tegenspeler oneindig intelligent is. Met de optimale strategie moet je dan in 50% van de gevallen kunnen winnen.

Ik heb trouwens zelf geen oplossing en ik denk dat het niet gemakkelijk is, maar mocht iemand interessante bedenkingen hebben omtrent dit probleem...

Een min of meer gelijkaardig probleem kwam een tijd geleden voor in expeditie Robinson. Iedereen had een worst en moest daar 5 keer (ben niet zeker van het aantal) een stuk afsnijden buiten het zicht van de anderen. Wie het grootste stuk had kreeg het punt. Wie na 5 keer de meeste punten had won het spel. In dit geval weet je telkens nog hoeveel de anderen nog overhebben voor de volgende rondes.

Iets actuelers.
Bij het polsstokhoogspringen brak een van de deelnemers zijn stok. Wat mij op viel is dat zijn stok in drieën brak. Is dat niet uiterst merkwaardig. Je verwacht toch hooguit één breuk.
Hoe verklaar je die dubbele breuk.

Dit is in de materiaalkunde gekend als "Feynman's spaghetti conjecture". Hetzelfde kan je thuis uitproberen met spaghetti. Als je deze buigt tot hij breekt, heb je ook dikwijls 3 stukken.

http://www.rug.nl/scienceLinx/proefjes/ ... evering015

Die Feynman was trouwens een tijdje een collega van Von Neumann. Hij is de grondlegger van de quantum veldtheorieën en net zoals Von Neumann een van de allergrootsten uit de theoretische fysica.

[op=op]

Ik heb trouwens zelf geen oplossing en ik denk dat het niet gemakkelijk is, maar mocht iemand interessante bedenkingen hebben omtrent dit probleem...

Los het probleem eens op voor n=2 (triviaal)
en voor n=3.

Een probleem in dit probleem is dat het niet mogelijk is random breuken te definiëren.
Je kunt het wel definiëren, maar dat is de uitkomst afhankelijk van jouw definitiekeuze.

[wnvl]

Voor n=2 is het altijd gelijkstand tegen een oneindig slimme tegenstander. Eender wat je kiest.

Voor n=3, weet ik niet wat optimaal is. Eigenlijk weet ik zelfs totaal niet hoe je begint aan het probleem.

Een probleem in dit probleem is dat het niet mogelijk is random breuken te definiëren.
Je kunt het wel definiëren, maar dat is de uitkomst afhankelijk van jouw definitiekeuze.

Je kan evt. een waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie gebruiken in je strategie.

[Sjoerd Job]

Voor n=2 is het altijd gelijkstand tegen een oneindig slimme tegenstander. Eender wat je kiest.

Ik vrees dat dit voor elke n het beste is...

[op=op]

Voor n=2 doet het er niet toe hoe je en je tegenstander de stok verdelen. Het is dan altijd gelijk spel.

Voor n=3, weet ik niet wat optimaal is. Eigenlijk weet ik zelfs totaal niet hoe je begint aan het probleem.

Voor n=3:
Teken een gelijkzijdige driehoek met zijden van lengte .
De som van de afstand van elk punt binnen de driehoek tot de drie zijden van de driehoek is 1.
(Bewijs: kijk naar oppervlakten).
Kies een punt binnen de driehoek.
Dat punt A vertegenwoordigt een gebroken stok met als lengte van de stukken de afstand tot de zijden van de gelijkzijdige driehoek.
Onderzoek nu welke punten binnen de driehoek verslagen worden door punt A.
Bereken hun oppervlak.
Zoek A zodanig dat dat oppervlak maximaal is.

Ik voorspel dat de ideale A zich op de rand van de driehoek bevindt.
D.w.z. dat er geen ideale oplossing bestaat.
Net zo voor n>3.

[wnvl]

n=3

In jou optimalisatie ga je ervan uit dat de strategie van de tegenstander is om de breekpunten willekeurig te kiezen (gelijkmatig verdeelde waarsch. distr. functie). Zodat zijn punt willekeurig verspreid is over de driehoek. Mag je van deze veronderstelling uitgaan om de optimale strategie tegen een intelligente tegenspeler te bepalen?

Ik voorspel dat de ideale A zich op de rand van de driehoek bevindt.
D.w.z. dat er geen ideale oplossing bestaat.

Waar op de rand gaat er toe doen. In een hoekpunt (wat 2 stukken met lengte 0 impliceert) lijkt mij echt niet optimaal. Het zal in het midden van de zijde moeten zijn, denk ik. Ik kom er later op terug.

n>3

Een platte grafische representatie werkt nu niet meer. Hoe ga je voor n=6 bvb een verdeling voorstellen met 3 stukken met lengte 0? Het domein met de verliezende posities voor de tegenstander waarover je moet integreren om de kans te bepalen dat jij wint wordt heel moeilijk om te bepalen.

[wnvl]

n=3



Als je strategie is om jezelf te positioneren in D (in het midden op de rand).
Heb je uiteindelijk nog maar 50% kans (opp AEDF / opp ABC) om te winnen tegen iemand die als strategie heeft om zich telkens op een willekeurig punt te positioneren. Dus je kan evengoed als strategie nemen telkens een willekeurig punt te kiezen.

[barto]

Stel dat je de stok wel verdeeld in n gelijke stukken.
Als de tegenstander een aantal stukken heeft met lengte >1/n, dan heeft die minstens evenveel stukken met lengte <1/n. In dat geval kan je dus al niet meer verliezen, wel gelijkspelen.
Stel dat er één van je stukken groter is dan 1/n, en bijgevolg ook 1 kleiner dan 1/n.
na wat logisch redeneren blijkt dat de kans op slagen even groot blijft, evenzo voor meerdere stukken > 1/n en dus meerdere <1/n.
en zowiezo, als je meer stukken <1/n neemt als dat je er >1/n neemt verkleint je kans alleen maar.

[wnvl]

3 gelijke stukken is inderdaad beter (= punt G) en lijkt mij optimaal als je tegenstander willekeurig speelt.



Je wint als de tegenspeler in de bruine ruimtes speelt.

Maar punt blijft dat je er eigenlijk niet vanuit mag gaan dat de tegenspeler een willekeurig punt kiest.

[barto]

Omdat je tegenstander oneindig slim is, en omdat je zelf ook oneindig slim wilt zijn, komt het er op neer dat je maximaal gelijk kan spelen, dus dat winnen onmogelijk is. Daarom is een oplossing waarbij je minstens gelijk speelt al voldoende, toch?

[op=op]

Maar punt blijft dat je er eigenlijk niet vanuit mag gaan dat de tegenspeler een willekeurig punt kiest.

Hoezo niet?
Wie is je tegenstander dan?
Als het om psychologie gaat kun je het probleem beter voorleggen aan een of ander psychologieforum.