Het tellen is niet zo gemakkelijk dat we vermoeden
Het tellen is niet zo gemakkelijk dat we vermoeden
Dit vraagstuk is genomen van Prof.Dr. Ali Nesin.Ik heb hetzelfde titel gebruikt als hij.
Jan staat buiten het huis , Els binnen het huis.Het is precies 1/2 voor 12 uur en voor Jan, op grond liggen er oneindig veel genummerde ballen:1, 2, 3, 4, ... De regel is zo: Jan zal twee ballen gooien binnen het huis en Els zal enkel en alleen één ervan terug gooien naar Jan, zonder uitstel en tijdverlies.Eerst een paar stappen zal ik hier opschrijven:
Uur------------------Ballen die Jan gooit----------Bal die Els teruggooit
-------------------------------------------------------------------------------------
1/2 voor 12---------1 en 2---------------------------1
1/4 voor 12---------3 en 4---------------------------2
1/8 voor 12---------5 en 6---------------------------3
.
.
.
De vraag: Hoeveel ballen zouden erbinnenop liggen om precies 12 uur?
(Antwoorden moeten bewezen worden)
Noot:Ik heb het letterlijk geprobeerd te vertalen. Indien het niet duidelijk is stel je vragen met rust.
Jan staat buiten het huis , Els binnen het huis.Het is precies 1/2 voor 12 uur en voor Jan, op grond liggen er oneindig veel genummerde ballen:1, 2, 3, 4, ... De regel is zo: Jan zal twee ballen gooien binnen het huis en Els zal enkel en alleen één ervan terug gooien naar Jan, zonder uitstel en tijdverlies.Eerst een paar stappen zal ik hier opschrijven:
Uur------------------Ballen die Jan gooit----------Bal die Els teruggooit
-------------------------------------------------------------------------------------
1/2 voor 12---------1 en 2---------------------------1
1/4 voor 12---------3 en 4---------------------------2
1/8 voor 12---------5 en 6---------------------------3
.
.
.
De vraag: Hoeveel ballen zouden erbinnenop liggen om precies 12 uur?
(Antwoorden moeten bewezen worden)
Noot:Ik heb het letterlijk geprobeerd te vertalen. Indien het niet duidelijk is stel je vragen met rust.
Let op : Al mijn vragen zijn geen opgave!
Re: Het tellen is niet zo gemakkelijk dat we vermoeden
Op prc 12u zal je dat niet weten. Aangezien je bezig bent over een oneindige rij. Het is gewoon ter oplossing mbv limieten.
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Re: Het tellen is niet zo gemakkelijk dat we vermoeden
Mening 1:Berdar schreef:Dit vraagstuk is genomen van Prof.Dr. Ali Nesin.Ik heb hetzelfde titel gebruikt als hij.
Jan staat buiten het huis , Els binnen het huis.Het is precies 1/2 voor 12 uur en voor Jan, op grond liggen er oneindig veel genummerde ballen:1, 2, 3, 4, ... De regel is zo: Jan zal twee ballen gooien binnen het huis en Els zal enkel en alleen één ervan terug gooien naar Jan, zonder uitstel en tijdverlies.Eerst een paar stappen zal ik hier opschrijven:
Uur------------------Ballen die Jan gooit----------Bal die Els teruggooit
-------------------------------------------------------------------------------------
1/2 voor 12---------1 en 2---------------------------1
1/4 voor 12---------3 en 4---------------------------2
1/8 voor 12---------5 en 6---------------------------3
.
.
.
De vraag: Hoeveel ballen zouden erbinnenop liggen om precies 12 uur?
(Antwoorden moeten bewezen worden)
Noot:Ik heb het letterlijk geprobeerd te vertalen. Indien het niet duidelijk is stel je vragen met rust.
0: Alle ballen zullen worden teruggegooid.
Mening 2:
Oneindig. Elke cyclus krijgt ze er een bij.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Re: Het tellen is niet zo gemakkelijk dat we vermoeden
Vermits het bewijs van belang was mag ik zeggen dat Mening1 juist is volgens bron.Sjoerd Job schreef: Mening 1:
0: Alle ballen zullen worden teruggegooid.
Mening 2:
Oneindig. Elke cyclus krijgt ze er een bij.
Naar mijn mening lijkt dit probleem op het tellen van breuken (of Q).
Hoe kunnen we bewijzen dat het resultaat 0 is?
Let op : Al mijn vragen zijn geen opgave!
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Re: Het tellen is niet zo gemakkelijk dat we vermoeden
Dat is het hem juist, het zijn beide volledig juiste statements.Berdar schreef:Vermits het bewijs van belang was mag ik zeggen dat Mening1 juist is volgens bron.Sjoerd Job schreef: Mening 1:
0: Alle ballen zullen worden teruggegooid.
Mening 2:
Oneindig. Elke cyclus krijgt ze er een bij.
Naar mijn mening lijkt dit probleem op het tellen van breuken (of Q).
Hoe kunnen we bewijzen dat het resultaat 0 is?
Eerst zijn er 0 ballen
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 1
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 2
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 3
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 4
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 5
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 6
...
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Hier kunnen wij misschien beter zo redeneren:
Gegooigde ballen-----------Teruggegooide ballen
1,2------------------------------1
3,4------------------------------2
5,6------------------------------3
7,8------------------------------4
...
Als elke bal een specifiek nummer zou hebben,dan zouden we na zekere stappen zien dat die ballen ook teruggegooid worden. Dat weet ik niet precies maar misschien krijgen we daardoor het resultaat 0.In het echt kan het nooit 12u zijn met deze benadering.Dus geen beperking van het aantal keren dat die ballen teruggegooid worden.Ik kijk niet naar 12 u, integendeel kijk ik naar een paar stappen in eerste plaatsen (zoals bovenop getoond) en ik zie na een bepaald aantal keren dat het bewijsbaar is op voorwaarde dat we elke bal een specifiek nummer toekennen.Zonder specifieke naam is volgens mij onbewijsbaar dat het 0 is.Omdat we in elk keer er 1 bij op moeten tellen.Hier is het controle onmogelijk.Als iemand beweer dat sommige ballen nooit worden teruggegooid, kunnen wij hier die ballen met variabelen voorstellen, bv: a,b,c....(of met een andere notatie) Nu kunnen wij precies aantonen dat a na een bepaalde stap zal gegooid worden.
Nu beweer ik dat niemand ballen( of enkel een bal) kan tonen dat nooit teruggegooid worden.Als mijn bewering juist is dan is er 0 ballen acter.?!...
Uiteraard is elk resultaat afhankelijk van interpretatie.
Gegooigde ballen-----------Teruggegooide ballen
1,2------------------------------1
3,4------------------------------2
5,6------------------------------3
7,8------------------------------4
...
Als elke bal een specifiek nummer zou hebben,dan zouden we na zekere stappen zien dat die ballen ook teruggegooid worden. Dat weet ik niet precies maar misschien krijgen we daardoor het resultaat 0.In het echt kan het nooit 12u zijn met deze benadering.Dus geen beperking van het aantal keren dat die ballen teruggegooid worden.Ik kijk niet naar 12 u, integendeel kijk ik naar een paar stappen in eerste plaatsen (zoals bovenop getoond) en ik zie na een bepaald aantal keren dat het bewijsbaar is op voorwaarde dat we elke bal een specifiek nummer toekennen.Zonder specifieke naam is volgens mij onbewijsbaar dat het 0 is.Omdat we in elk keer er 1 bij op moeten tellen.Hier is het controle onmogelijk.Als iemand beweer dat sommige ballen nooit worden teruggegooid, kunnen wij hier die ballen met variabelen voorstellen, bv: a,b,c....(of met een andere notatie) Nu kunnen wij precies aantonen dat a na een bepaalde stap zal gegooid worden.
Nu beweer ik dat niemand ballen( of enkel een bal) kan tonen dat nooit teruggegooid worden.Als mijn bewering juist is dan is er 0 ballen acter.?!...
Uiteraard is elk resultaat afhankelijk van interpretatie.
Laatst gewijzigd door Berdar op 16 mei 2007, 22:25, 1 keer totaal gewijzigd.
Let op : Al mijn vragen zijn geen opgave!
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Laten we nu kijken naar de rij die ons vertelt hoeveel ballen er zijn na stappen. Merk op . Convergeert deze rij voor ? Gebruik makend van een nodige voorwaarde voor het bestaan van een limiet:
Voor elke bestaat er een zodat als geldt dat .
Nu, kies , en we zien dat er alleen aan voldaan wordt als er op een gegeven moment geldt dat de rij constant wordt. Deze rij heeft dus geen limiet. De limiet is dus ook niet 0. Sterker nog, aangezien de rij willekeurig groot kan worden, zou men kunnen zeggen dat de limiet oneindig is.
Anderzijds, als we nu naar de verzameling ballen in het huis kijken, lijkt het enigzins op
{2}
{3,4}
{4,5,6}
Als we het dan als bezien, lijkt het op
(0,1,0,0,0,0,0...)
(0,0,1,1,0,0,0...)
(0,0,0,1,1,1,0...)
En heeft het een limiet van
(0,0,0,0,0,0,0...), wat correspondeert met de lege verzameling.
Dus, is het duidelijk dat het nemen van de cardinaliteit geen continue functie is, namelijk...
Voor elke bestaat er een zodat als geldt dat .
Nu, kies , en we zien dat er alleen aan voldaan wordt als er op een gegeven moment geldt dat de rij constant wordt. Deze rij heeft dus geen limiet. De limiet is dus ook niet 0. Sterker nog, aangezien de rij willekeurig groot kan worden, zou men kunnen zeggen dat de limiet oneindig is.
Anderzijds, als we nu naar de verzameling ballen in het huis kijken, lijkt het enigzins op
{2}
{3,4}
{4,5,6}
Als we het dan als bezien, lijkt het op
(0,1,0,0,0,0,0...)
(0,0,1,1,0,0,0...)
(0,0,0,1,1,1,0...)
En heeft het een limiet van
(0,0,0,0,0,0,0...), wat correspondeert met de lege verzameling.
Dus, is het duidelijk dat het nemen van de cardinaliteit geen continue functie is, namelijk...
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
bij één stap komt er telkens één bal bij (van de twee gaat er maar één terug)
het aantal stappen van 1/2 voor 12 tot 12 is oneindig
(daarom spreekt de Prof ook niet van de benodigde tijd voor de te verrichten handelingen,anders zou de lichtsnelheid de limiterende factor zijn)
met die halveringsstappen zal je 12u echter nooit bereiken
met een limiet op oneindig als resultaat (oneindig aantal ballen)
het aantal stappen van 1/2 voor 12 tot 12 is oneindig
(daarom spreekt de Prof ook niet van de benodigde tijd voor de te verrichten handelingen,anders zou de lichtsnelheid de limiterende factor zijn)
met die halveringsstappen zal je 12u echter nooit bereiken
met een limiet op oneindig als resultaat (oneindig aantal ballen)
Hier ben ik het mee eens.TD schreef:Er is een bijectie tussen de heen- en teruggegooide ballen, voor elke heenbal is er een terugbal en omgekeerd. Vergelijking met N en Z of met de even (of oneven) getallen en N, lijkt ook het dubbel maar kardinaliteit is gelijk.
Als het aantal keren oneindig is, zal elke bal na een bepaalde stappen teruggegooid worden.Dus een bijectie is altijd mogelijk tussen twee verzamelingen.
En ten tweede zijn wij niet in staat te zeggen dat sommige ballen achterblijven.Zodra iemand ons een specifieke bal aantoont, zullen we hem/haar zekker aantonen dat die bal na bepaalde stappen teruggegooid wordt.
Is dit niet voldoende om bewezen te worden?!....
Let op : Al mijn vragen zijn geen opgave!
Eerst zijn er 0 ballen
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 1 (1/2 voor 12)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 2 (1/4 voor 12)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 3 (1/8 voor 12)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 4 (1/16 voor 12)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 5 (1/32 voor 12)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 6 (1/64 voor 12)
dus een oplopende reeks
door wat is die begrenst ?
tenzij door de kleinst mogelijke tijdeenheid (als die bestaat)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 1 (1/2 voor 12)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 2 (1/4 voor 12)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 3 (1/8 voor 12)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 4 (1/16 voor 12)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 5 (1/32 voor 12)
Er komen twee bij, en er gaat 1 weg, dus zitten we op 6 (1/64 voor 12)
dus een oplopende reeks
door wat is die begrenst ?
tenzij door de kleinst mogelijke tijdeenheid (als die bestaat)
Ik probeer bij benadering een vertalling te maken van Prof.
Prof.Dr. Ali Nesin schreef:
We schrijven ballen op die zich op elk moment binnen de kamer bevinden:
Uur----------------------Ballen in de kamer----Aantal ballen in de kamer
Na 1/2 voor 12u--------2------------------------1
Na 1/4 voor 12u--------3, 4---------------------2
Na 1/8 voor 12u--------4, 5, 6------------------3
...
Na 1/64 voor 12u-------7, 8, 9, 10, 11, 12-----6
... ... ...
Na 1/2n voor 12u---n + 1, n + 2,..., 2n--------n
... ... ...
Laten we de ballen in de kamer als verzamelingen voorstellen.Laten we de verzameling ballen die onmiddelijk na 1/2n voor 12u in de kamer liggen An noemen.Dus gelden volgende gelijkheden:
A1 = {2}
A2 = {3,4}
A3 = {4,5,6}
A4 = {5,6,7,8}
A5 = {6,7,8,9,10}
A6 = {7,8,9,10,11,12}
...
An = {n + 1, n + 2 ,..., 2n}
...
We willen weten wat met deze rij zal gebeuren terwijl n naar oneindig gaat.
A1 is een deelverzameling van {2,3,4,5,6,...}
A2 is een deelverzameling van {3,4,5,6,7,...}
A3 is een deelverzameling van {4,5,6,7, 8,...}
In het algemeen de verzameling An is een deelverzameling van {n + 1, n + 2, n + 3, ...}
Laat Bn getallen voorstellen die groter dan n zijn.Dus
Bn = {n + 1, n + 2, n + 3,...}
dan gelden volgende uitdrukkingen
A1 is een deelverzameling van B1
A2 is een deelverzameling van B2
A3 is een deelverzameling van B3
A4 is een deelverzameling van B4
A5 is een deelverzameling van B5
...
An is een deelverzameling van Bn
...
Om aan te tonen dat de verzamelingen An in oneindig leeg zijn is het voldoende de verzamelingen Bn aantonen die in oneindig leeg zijn.
Maar omdat de verzameling Bn zo getallen bevatten die groter zijn dan n, zal elk getal na een tijd buiten één van de verzmelingen Bn blijven.Bijvoorbeeld 1995 bevindt zich niet in B1995,ook niet in de verzameling B1996; in het algemeen , als n groter dan of gelijk aan 1995 is, dan is 1995 niet in Bn. Dit geldt niet alleen voor 1995,maar voor alle getallen.Dus de verzamelingen Bn worden in oneindig lege verzamelingen.Bijgevolg worden de verzamelingen An ook in oneindig lege verzamelingen.
Let op : Al mijn vragen zijn geen opgave!
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Het nummeren van de ballen is nuttig om te bewijzen dat er geen enkele bal in het huis blijft. Het stelt men in staat het kleinste-getal-principe te gebruiken.jogo schreef:wat ik niet begrijp is wat belang die nummer van de bal heeft ?
nr3 en nr4 of nr654 en nr655 het aantal is 2 en daar ging het toch over niet?
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Stel dat Els alleen oneven genummerde ballen teruggooit.Wat zou er dan gebeuren? Dan zouden er zowel binnen- als buiten kamer een oneindig aantal ballen liggen. Maar wat zouden er gebeuren als Els ballen niet met hun beurt teruggooit maar op een willekeurige manier?Denk je dat er oneindig aantal ballen binnen ligt of nul?jogo schreef:wat ik niet begrijp is wat belang die nummer van de bal heeft ?
nr3 en nr4 of nr654 en nr655 het aantal is 2 en daar ging het toch over niet?
Let op : Al mijn vragen zijn geen opgave!