Beste lezer,
In de bijlage is een model opgenomen waarbij voor het offreren van uurtarieven een bepaalde bonus/malus berekend wordt. Met de parameters kan ik de kromme van de grafiek en de spreiding van het percentage bepalen.
Het model is gebaseerd op de Sigmoïd curve.
Graag wil ook de mogelijkheid hebben om het grafiek (lijn) te spiegelen.
Voor de duidelijkheid heb ik in de grafiek handmatig een oranje lijn getekend.
Vraag
Kan dit met het aanpassen van de formule?
Zo ja, hoe moet de formule worden aangepast.
Zo nee, met welke andere formule kan dit worden gerealiseerd?
Pieter Carel
Spiegelen van een Sigmoïd curve
-
- Nieuw lid
- Berichten: 5
- Lid geworden op: 14 feb 2019, 17:13
Re: Spiegelen van een Sigmoïd curve
In blauw je oorspronkelijke functie f (iets herschreven):
\(f: \;y = 1 + \sigma \left( \frac{2}{1+e^{-\alpha(x-100)}} - 1 \right)\)
met \(\alpha = 0.11\) en \(\sigma = 0.04\)
Deze functie heeft 2 horizontale asymptoten: de lijn \(y = 0.96\) en de lijn \(y = 1.04\)
In rood een inverse sigmoïd functie g, met het symmetriecentrum verlegd naar het punt \((100, 1)\):
\(g: \;y = 1 - \gamma \ln\left( \frac{2}{\frac{x-100}{\omega}+1} - 1\right)\)
met constanten \(\gamma\) en \(\omega\)
Deze functie heeft 2 verticale asymptoten: de lijn \(x = 100 - \omega\) en de lijn \(x=100+\omega\)
Omdat de grafiek door het punt \((40, 0.96)\) moet gaan, moet \(\omega > 60\) zijn, en moet
\(0.96 = 1 - \gamma \ln\left( \frac{2}{\frac{40-100}{\omega}+1} - 1\right)\)
Dit is één vergelijking met 2 onbekenden, we kunnen dus nog een eis stellen, bijvoorbeeld de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt \((100, 1)\). Deze raaklijn is in het plaatje hierboven in het groen weergegeven.
De afgeleide functie g' is:
\(g':\; y = \frac{2\gamma \omega}{\omega^2 - (x-100)^2}\)
de richtingscoëfficiënt rc in x=100 is dan
\(rc = \frac{2\gamma}{\omega}\)
Als we de richtingscoëfficiënt \(rc = \frac{0.012}{60}\) kiezen (hierboven weergegeven in paars), dan hebben we onze tweede vergelijking met 2 onbekenden:
\(\frac{0.012}{60} = \frac{2\gamma}{\omega}\)
ofwel
\(\gamma = \frac{0.012}{120} \omega\)
Als we dit resultaat invullen in de eerste vergelijking krijgen we:
\(0.96 = 1 - \frac{0.012}{120} \omega \ln\left( \frac{2}{\frac{40-100}{\omega}+1} - 1\right)\)
Hieruit kunnen we \(\omega\) numeriek oplossen:
\(\omega \approx 60.1555733276\)
waardoor
\(\gamma \approx \frac{0.012}{120} \cdot 60.1555733276 \approx 0.0060155573\)
Hier nog wat waarden van \(\gamma\) en \(\omega\) voor een aantal rc's:
Code: Selecteer alles
rc=0.003/60: gamma=0.0015000000 omega=60.0000000003
rc=0.004/60: gamma=0.0020000000 omega=60.0000002473
rc=0.005/60: gamma=0.0025000006 omega=60.0000135043
rc=0.006/60: gamma=0.0030000097 omega=60.0001943603
rc=0.007/60: gamma=0.0035000762 omega=60.0013059558
rc=0.008/60: gamma=0.0040003635 omega=60.0054531927
rc=0.009/60: gamma=0.0045012444 omega=60.0165925512
rc=0.010/60: gamma=0.0050033739 omega=60.0404869205
rc=0.011/60: gamma=0.0055077200 omega=60.0842185601
rc=0.012/60: gamma=0.0060155573 omega=60.1555733276
rc=0.013/60: gamma=0.0065284416 omega=60.2625380342
rc=0.014/60: gamma=0.0070481840 omega=60.4130059990
rc=0.015/60: gamma=0.0075768354 omega=60.6146834530
rc=0.016/60: gamma=0.0081166865 omega=60.8751489556
rc=0.017/60: gamma=0.0086702857 omega=61.2020165115
rc=0.018/60: gamma=0.0092404751 omega=61.6031673476
rc=0.019/60: gamma=0.0098304468 omega=62.0870323296
rc=0.020/60: gamma=0.0104438203 omega=62.6629220257