Berekenen lengte van een opgerolde slang

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
Laurenza
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 28 feb 2021, 16:58

Berekenen lengte van een opgerolde slang

Bericht door Laurenza » 28 feb 2021, 17:12

Beste mensen,

Ik wil graag ons zwembad verwarmen met behulp van zonnewarmte.

Hiervoor wil ik een holle ronde platte slang plat oprollen en op een zwarte achtergrond bevestigen. Dit in de zon zetten en het water pomp ik er dan langzaam door. De platte rol mag maximaal 100 cm in totaal zijn.

Maar hoeveel slanglengte heb ik nodig om deze op te rollen tot een platte "haspel" (1 laag dik). De diameter kan ik kiezen: 18, 25 of 32 mm. Het moet passen op een ondergrond van 100 x 100 cm.

Uitgangspunten: de kern (deel wat niet opgerold kan worden) is ca. 15 cm. Dus de eerste "ronde" heeft een diameter van 15 cm. Die daarna van 15 + 2 x de diameter enzovoort....

Wie helpt mij rekenen?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3590
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Berekenen lengte van een opgerolde slang

Bericht door arie » 02 mar 2021, 14:34

Afbeelding

Hier een benadering met cirkels voor de slang met diameter d = 3.2 cm:
In rood de kern met diameter K = 15 cm op een vierkant bord met zijdelengte B = 100 cm.
Tussen de kern en de buitenwand passen \(N=\lfloor \frac{B-K}{2d} \rfloor = \lfloor \frac{100-15}{2\cdot 3.2} \rfloor = \lfloor 13.28 \rfloor = 13\) wikkelingen.
(we ronden af naar beneden: dus als er 10.85 wikkelingen zouden passen werken we met N=10, want een 11e wikkeling zou uitsteken over het vierkant).
Van de eerste wikkeling heeft:
- de binnenrand een straal van K/2 = 15/2 = 7.5 cm
- de buitenrand een straal van (K/2) + d = 7.5 + 3.2 = 10.7 cm.
Het midden van de slang ligt op een cirkel met straal R = (K/2) + (d/2) = 7.5 + 1.6 = 9.1 cm.
Dus als we de lengte van de slang meten in het midden van de slang,
dan is de lengte van de eerste wikkeling de omtrek van een cirkel met straal 9.1 cm:
\(L_1 = 2\pi R = 2\pi\cdot 9.1 = 57.18\) cm
Doen we dit ook voor alle andere cirkels en we tellen al die lengtes bij elkaar op, dan komen we uit op de totale lengte L van de slang.
We kunnen afleiden dat daarvoor geldt:
\(L = \pi \cdot N \cdot (K + N\cdot d)\)
Voor dit voorbeeld is
\(L = \pi \cdot 13 \cdot (15 + 13\cdot 3.2) = 2312 \;\text{cm} = 23.12 \;\text{m}\)

Noot: in deze benadering gaan we uit van losse cirkels, in werkelijkheid zal elke slang aangesloten zitten op de volgende cirkel. Hierdoor ontstaat in werkelijkheid een klein "wit driehoekje" bij de centrale kern in bovenstaand plaatje, daar waar de eerste wikkeling doorgaat in de 2e wikkeling. Maar dat is een zeer geringe afwijking ten opzichte van L.

Voor de slang met d=2.5 levert dit:
\(N=\lfloor \frac{B-K}{2d} \rfloor = \lfloor \frac{100-15}{2\cdot 2.5} \rfloor = 17\)
\(L = \pi \cdot N \cdot (K + N\cdot d) = \pi \cdot 17 \cdot (15 + 17\cdot 2.5) = 3071\;\text{cm} = 30.71 \;\text{m}\)

En voor de slang met d=1.8:
\(N=\lfloor \frac{B-K}{2d} \rfloor = \lfloor \frac{100-15}{2\cdot 1.8} \rfloor = 23\)
\(L = \pi \cdot N \cdot (K + N\cdot d) = \pi \cdot 23 \cdot (15 + 23\cdot 1.8 ) = 4075\;\text{cm} = 40.75 \;\text{m}\)


NOOT:
Voor een hoger rendement kan je de wikkelingen ook in vierkanten met gebogen hoeken leggen:

Afbeelding

De totale lengte is in dit geval L = 28.34 m (een aanzienlijke winst voor de opwarming van je water).
Alle hoeken zijn hier net zo gebogen als in de centrale kern (met diameter K = 15 cm, dus straal r=7.5 cm)
Je kan die buiging zo scherp maken als je slang het toelaat, hier bijvoorbeeld met r = 2.5 cm:

Afbeelding

waardoor je 29.45 m slang kwijt kan op je vierkant.

Niet alleen de slang, maar ook de algemene formule voor de lengte is nu wat langer:

\(L=N\cdot (\pi\cdot(2r+d)+4\cdot(B-2r - d\cdot (N+1)))\)

met L, N, B en d als hierboven gedefinieerd, en r de straal van de binnenbocht van de hoek van elke slangwikkeling:

Afbeelding

Voor elke wikkeling hebben we dus als lengte:
[1] de omtrek van een cirkel door het midden van de slang met straal (r+(d/2))
met daarbij opgeteld:
[2] 4*(a-2r) aan rechte zijdelengtes.

Samenvattend:

Afbeelding

Laurenza
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 28 feb 2021, 16:58

Re: Berekenen lengte van een opgerolde slang

Bericht door Laurenza » 05 mar 2021, 07:24

Geweldig! Heel hartelijk dank. Hiermee kan ik aan de slag. Top!
Laure

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3590
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Berekenen lengte van een opgerolde slang

Bericht door arie » 05 mar 2021, 10:34

Mooi.

Nog even dit:
Het oppervlak van je vierkant is \(100 \times 100 = 10000 \;\text{cm}^2\)
Het oppervlak van de centrale cirkel = \(\frac{\pi}{4} \times 15^2 = 176.71\;\text{cm}^2\)

Het beschikbare oppervlak voor de slang is dus \(10000 - 176.71 = 9823.29 \;\text{cm}^2\)
Als we dit beschikbare oppervlak volledig door slang zouden bedekken dan is er maximaal plaats voor:
- bij diameter 1.8 cm: \(9823.29 / 1.8 = 5457.38 \;\text{cm}\) slang (= 54.57 meter)
- bij diameter 2.5 cm: \(9823.29 / 2.5 =3929.3 \;\text{cm}\) slang (= 39.29 meter)
- bij diameter 3.2 cm: \(9823.29 / 3.2 = 3069.78 \;\text{cm}\) slang (= 30.70 meter)
De vierkantige plaatsingen in mijn vorige post naderen deze limieten behoorlijk goed.

Een cirkel met diameter d kan maximaal slechts \(\frac{\pi }{ 4} = 0.785398 = 78.5\% \) van een vierkant met zijdelengte d bedekken.
Voor de haspelvormige plaatsing heb je beschikbaar (opnieuw zonder de centrale cirkel):
\(\frac{\pi}{4} \times 100^2 - \frac{\pi}{4} \times 15^2 = 7677.27\;\text{cm}^2\)
Dit levert:
- bij diameter 1.8 cm: \(7677.27 / 1.8 = 4265.15 \;\text{cm}\) slang (= 42.65 meter)
- bij diameter 2.5 cm: \(7677.27 / 2.5 =3070.9 \;\text{cm}\) slang (= 30.71 meter)
- bij diameter 3.2 cm: \(7677.27 / 3.2 = 2399.1 \;\text{cm}\) slang (= 23.99 meter)
Dit is voor diameters 1.8 en 3.2 iets meer dan hierboven, omdat we er nu geen rekening mee houden dat het aantal wikkelingen alleen maar een geheel aantal malen de slangdiameter mag zijn.

Bovenstaande levert je dus nog een manier om de slanglengte te schatten.

Plaats reactie