Hier een benadering met cirkels voor de slang met diameter d = 3.2 cm:
In rood de kern met diameter K = 15 cm op een vierkant bord met zijdelengte B = 100 cm.
Tussen de kern en de buitenwand passen
\(N=\lfloor \frac{B-K}{2d} \rfloor = \lfloor \frac{100-15}{2\cdot 3.2} \rfloor = \lfloor 13.28 \rfloor = 13\) wikkelingen.
(we ronden af naar beneden: dus als er 10.85 wikkelingen zouden passen werken we met N=10, want een 11e wikkeling zou uitsteken over het vierkant).
Van de eerste wikkeling heeft:
- de binnenrand een straal van K/2 = 15/2 = 7.5 cm
- de buitenrand een straal van (K/2) + d = 7.5 + 3.2 = 10.7 cm.
Het midden van de slang ligt op een cirkel met straal R = (K/2) + (d/2) = 7.5 + 1.6 = 9.1 cm.
Dus als we de lengte van de slang meten in het midden van de slang,
dan is de lengte van de eerste wikkeling de omtrek van een cirkel met straal 9.1 cm:
\(L_1 = 2\pi R = 2\pi\cdot 9.1 = 57.18\) cm
Doen we dit ook voor alle andere cirkels en we tellen al die lengtes bij elkaar op, dan komen we uit op de totale lengte L van de slang.
We kunnen afleiden dat daarvoor geldt:
\(L = \pi \cdot N \cdot (K + N\cdot d)\)
Voor dit voorbeeld is
\(L = \pi \cdot 13 \cdot (15 + 13\cdot 3.2) = 2312 \;\text{cm} = 23.12 \;\text{m}\)
Noot: in deze benadering gaan we uit van losse cirkels, in werkelijkheid zal elke slang aangesloten zitten op de volgende cirkel. Hierdoor ontstaat in werkelijkheid een klein "wit driehoekje" bij de centrale kern in bovenstaand plaatje, daar waar de eerste wikkeling doorgaat in de 2e wikkeling. Maar dat is een zeer geringe afwijking ten opzichte van L.
Voor de slang met d=2.5 levert dit:
\(N=\lfloor \frac{B-K}{2d} \rfloor = \lfloor \frac{100-15}{2\cdot 2.5} \rfloor = 17\)
\(L = \pi \cdot N \cdot (K + N\cdot d) = \pi \cdot 17 \cdot (15 + 17\cdot 2.5) = 3071\;\text{cm} = 30.71 \;\text{m}\)
En voor de slang met d=1.8:
\(N=\lfloor \frac{B-K}{2d} \rfloor = \lfloor \frac{100-15}{2\cdot 1.8} \rfloor = 23\)
\(L = \pi \cdot N \cdot (K + N\cdot d) = \pi \cdot 23 \cdot (15 + 23\cdot 1.8 ) = 4075\;\text{cm} = 40.75 \;\text{m}\)
NOOT:
Voor een hoger rendement kan je de wikkelingen ook in vierkanten met gebogen hoeken leggen:
De totale lengte is in dit geval L = 28.34 m (een aanzienlijke winst voor de opwarming van je water).
Alle hoeken zijn hier net zo gebogen als in de centrale kern (met diameter K = 15 cm, dus straal r=7.5 cm)
Je kan die buiging zo scherp maken als je slang het toelaat, hier bijvoorbeeld met r = 2.5 cm:
waardoor je 29.45 m slang kwijt kan op je vierkant.
Niet alleen de slang, maar ook de algemene formule voor de lengte is nu wat langer:
\(L=N\cdot (\pi\cdot(2r+d)+4\cdot(B-2r - d\cdot (N+1)))\)
met L, N, B en d als hierboven gedefinieerd, en r de straal van de binnenbocht van de hoek van elke slangwikkeling:
Voor elke wikkeling hebben we dus als lengte:
[1] de omtrek van een cirkel door het midden van de slang met straal (r+(d/2))
met daarbij opgeteld:
[2] 4*(a-2r) aan rechte zijdelengtes.
Samenvattend: