Veeltermen met twee onbekenden
Geplaatst: 08 mei 2022, 09:53
Omdat mijn vraag uiteindelijk specifiek meer een praktijkprobleem is neem ik het hier over in deze rubriek.
Mijn vraag ging dus over veeltermen met twee onbekenden.
Daarbij kwam ik uiteindelijk op deze twee vergelijkingen met x en y als onbekenden :
ax^2+bx+cy^3+dy^2+ey=f
gx^2+hx+iy^2+jy=0
De basisvraag was om een beweging te maken over een gekende afstand, vertrekkende vanaf stilstand tot stilstand, die binnen een exact bepaalde tijd wordt uitgevoerd (niet sneller of langzamer).
De beweging moet een zogenaamde derde orde motion zijn : eerste afgeleide van afgelegde weg is snelheid, tweede afgeleide is versnellling, derde afgeleide is de 'jerk'. In de formule voor afgelegde weg wordt de jerk vermenigvuldigde met de derde macht van de tijdsbasis.
De formules en de tijdsgrafieken kan je vinden op : https://www.jpe-innovations.com/precisi ... n-profile/
Dus de opdracht was bepaalde afstand afleggen in bepaalde tijd, en verder is enkel opgegeven de 'jerk' die moet gebruikt worden, en ook de procentuele tijd dat de snelheid vanaf stilstand opbouwt tot maximum bereikte snelheid (deze snelheid is niet opgegeven). Het resterende deel van de tijd wordt gebruikt om van maximale snelheid af te bouwen naar stilstand. Er is geen fase van constante snelheid, bij het bereiken van maximale snelheid wordt die onmiddellijk terug afgebouwd.
De jerk die gebruikt wordt moet dezelfde zijn in alle fases. De kleinste deelfases zijn dus :
1) vertrekken vanaf stilstand acceleratie doen toenemen met constante 'jerk' (eerste afgeleide van accelleratie)
2)daarna acceleratie constant houden
3)daarna acceleratie terug naar 0 brengen met constante jerk, maximale snelheid zal op het einde bereikt worden
4)daarna acceleratie in negatieve zin doen toenemen met constante jerk, om sneheid te verminderen
5)daarna negatieve acceleratie constant houden
6)daarna negatieve acceleratie naar 0 brengen met constante jerk tot snelheid 0 wordt en eindpositie bereikt is
De jerk die in dit verloop wordt toegepast is overal dezelfde (in fases 1,3,4,6).
De maximale snelheid die bereikt wordt is vooraf niet opgegeven, hoeft op zich ook niet gekend te zijn in de oplossing
De gebruikte maximum acceleratie (in fase 2) en maximum decceleratie (in fase 5) is wat we dienen te bepalen.
Wat we vooraf weten zijn de totale afstand, de totale tijd en de tijd die aan de acceleratiefase (fase 1+2+3) wordt besteedt en de tijd die aan de deceleratiefase (fase 4+5+6) wordt besteedt (accceleratietijd opgegeven als procent van totale tijd).
Ik heb de formule voor de totale afgelegde weg zoals die in het document waarnaar verwezen wordt uitgewerkt waarbij de totale afstand een functie is van de tijden waarin de acceleratie wordt opgebouwd en afgebouwd (fase 1 en 3) en de decceleratie wordt opgebouwd en afgebouwd (fase 4 en 6). Merk daarbij op dat opbouw en afbouw van de acceleratie even lang zullen duren want de 'jerk' is dezelfde, en de opbouw en afbouw van de deceleratiefase duren ook even lang vanwege diezelfde jerk. Tussen acceleratie en decceleratie op-afbouw is er wel een verschil als de maximale acceleratie verschillend is van de maximale decceleratie. Zo kwam ik tot mijn formule :ax^2+bx+cy^3+dy^2+ey=f
Hierbij is x de tijd voor acceleratie opbouw (= acceleratie afbouw) en y de tijd voor decceleratie opbouw (= decceleratie afbouw). f is de totale afgelegde weg, constanten a t.e.m. e zullen vooraf in de controller berekend worden op basis van opgegeven parameters als jerk voor acceleratie en deceleratie enz. Als ik de tijd ken voor acceleratiepbouw en de jerk is gegeven dan ken ik ook de maximale acceleratie die zal bereikt worden : acceleratie = jerk x tijd, analoog voor deceleratie.
Een andere stelling die je kan nemen is de snelheid die bereikt wordt op het einde van de acceleratiefase = snelheid begin decceleratiefase. Daarvoor kwam ik tot volgende vergelijking : gx^2+hx+iy^2+jy=0
x en y hebben hier dezelfde betekenis als in de eerste vergelijking.
Je zou ook nog kunnen stellen dat de tijd voor acceleratieopbouw (fase 1) maximaal gelijk kan zijn aan de helft van de totale acceleratiefase (fase 1+2+3), omdat fase 1 en 3 even lang duren en moeten afgerond zijn in de totale acceleratiefase. Analoog voor de opbouw van de decceleratie.
Dan kom ik uit op deze twee vergelijkingen met twee onbekenden, maar zie niet onmiddellijk hoe ik kom tot een uitgerekende waarde voor x en y.
Mijn vraag ging dus over veeltermen met twee onbekenden.
Daarbij kwam ik uiteindelijk op deze twee vergelijkingen met x en y als onbekenden :
ax^2+bx+cy^3+dy^2+ey=f
gx^2+hx+iy^2+jy=0
De basisvraag was om een beweging te maken over een gekende afstand, vertrekkende vanaf stilstand tot stilstand, die binnen een exact bepaalde tijd wordt uitgevoerd (niet sneller of langzamer).
De beweging moet een zogenaamde derde orde motion zijn : eerste afgeleide van afgelegde weg is snelheid, tweede afgeleide is versnellling, derde afgeleide is de 'jerk'. In de formule voor afgelegde weg wordt de jerk vermenigvuldigde met de derde macht van de tijdsbasis.
De formules en de tijdsgrafieken kan je vinden op : https://www.jpe-innovations.com/precisi ... n-profile/
Dus de opdracht was bepaalde afstand afleggen in bepaalde tijd, en verder is enkel opgegeven de 'jerk' die moet gebruikt worden, en ook de procentuele tijd dat de snelheid vanaf stilstand opbouwt tot maximum bereikte snelheid (deze snelheid is niet opgegeven). Het resterende deel van de tijd wordt gebruikt om van maximale snelheid af te bouwen naar stilstand. Er is geen fase van constante snelheid, bij het bereiken van maximale snelheid wordt die onmiddellijk terug afgebouwd.
De jerk die gebruikt wordt moet dezelfde zijn in alle fases. De kleinste deelfases zijn dus :
1) vertrekken vanaf stilstand acceleratie doen toenemen met constante 'jerk' (eerste afgeleide van accelleratie)
2)daarna acceleratie constant houden
3)daarna acceleratie terug naar 0 brengen met constante jerk, maximale snelheid zal op het einde bereikt worden
4)daarna acceleratie in negatieve zin doen toenemen met constante jerk, om sneheid te verminderen
5)daarna negatieve acceleratie constant houden
6)daarna negatieve acceleratie naar 0 brengen met constante jerk tot snelheid 0 wordt en eindpositie bereikt is
De jerk die in dit verloop wordt toegepast is overal dezelfde (in fases 1,3,4,6).
De maximale snelheid die bereikt wordt is vooraf niet opgegeven, hoeft op zich ook niet gekend te zijn in de oplossing
De gebruikte maximum acceleratie (in fase 2) en maximum decceleratie (in fase 5) is wat we dienen te bepalen.
Wat we vooraf weten zijn de totale afstand, de totale tijd en de tijd die aan de acceleratiefase (fase 1+2+3) wordt besteedt en de tijd die aan de deceleratiefase (fase 4+5+6) wordt besteedt (accceleratietijd opgegeven als procent van totale tijd).
Ik heb de formule voor de totale afgelegde weg zoals die in het document waarnaar verwezen wordt uitgewerkt waarbij de totale afstand een functie is van de tijden waarin de acceleratie wordt opgebouwd en afgebouwd (fase 1 en 3) en de decceleratie wordt opgebouwd en afgebouwd (fase 4 en 6). Merk daarbij op dat opbouw en afbouw van de acceleratie even lang zullen duren want de 'jerk' is dezelfde, en de opbouw en afbouw van de deceleratiefase duren ook even lang vanwege diezelfde jerk. Tussen acceleratie en decceleratie op-afbouw is er wel een verschil als de maximale acceleratie verschillend is van de maximale decceleratie. Zo kwam ik tot mijn formule :ax^2+bx+cy^3+dy^2+ey=f
Hierbij is x de tijd voor acceleratie opbouw (= acceleratie afbouw) en y de tijd voor decceleratie opbouw (= decceleratie afbouw). f is de totale afgelegde weg, constanten a t.e.m. e zullen vooraf in de controller berekend worden op basis van opgegeven parameters als jerk voor acceleratie en deceleratie enz. Als ik de tijd ken voor acceleratiepbouw en de jerk is gegeven dan ken ik ook de maximale acceleratie die zal bereikt worden : acceleratie = jerk x tijd, analoog voor deceleratie.
Een andere stelling die je kan nemen is de snelheid die bereikt wordt op het einde van de acceleratiefase = snelheid begin decceleratiefase. Daarvoor kwam ik tot volgende vergelijking : gx^2+hx+iy^2+jy=0
x en y hebben hier dezelfde betekenis als in de eerste vergelijking.
Je zou ook nog kunnen stellen dat de tijd voor acceleratieopbouw (fase 1) maximaal gelijk kan zijn aan de helft van de totale acceleratiefase (fase 1+2+3), omdat fase 1 en 3 even lang duren en moeten afgerond zijn in de totale acceleratiefase. Analoog voor de opbouw van de decceleratie.
Dan kom ik uit op deze twee vergelijkingen met twee onbekenden, maar zie niet onmiddellijk hoe ik kom tot een uitgerekende waarde voor x en y.