Wiskundeforum

Als men de positie van een zuiger in een 'crank - slider' mechanisme wil bereken (de positie van de zuiger TOV het hart van een krukas) is de formule hiervoor:

P = r*cos(a) + SQRT ( b^2-r^2*sin(a)^2)

hierbij is:
P: positie zuiger
r: radius krukas
b: lengte drijfstang
a: hoek krukas

Hoe ga ik te werk als ik in plaats van P, a wil weten? (de hoek)

Heel erg uitgebreid uitgewerkt: we hebben:

\(P = r \cdot \cos(\alpha) + \sqrt{ b^2-r^2 \cdot \sin(\alpha)^2}\)

breng \(r\cdot \cos(\alpha)\) naar links:

\(P - r \cdot \cos(\alpha) = \sqrt{ b^2-r^2 \cdot \sin(\alpha)^2}\)

kwadrateer:

\(\left[ P - r \cdot \cos(\alpha) \right]^2 = b^2-r^2 \cdot \sin(\alpha)^2\)

gebruik links: \((a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2\):

\(P^2 - 2P\cdot r \cdot \cos(\alpha) + \left(r \cdot \cos(\alpha)\right)^2 = b^2-r^2 \cdot \sin(\alpha)^2\)

gebruik in de derde term links: \((a\cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2\):

\(P^2 - 2P\cdot r \cdot \cos(\alpha) + r^2 \cdot \cos(\alpha)^2 = b^2-r^2 \cdot \sin(\alpha)^2\)

breng de eerste en derde term links naar rechts:

\(- 2P\cdot r \cdot \cos(\alpha) = -P^2+ b^2 -r^2 \cdot \sin(\alpha)^2 - r^2 \cdot \cos(\alpha)^2\)

vermenigvuldig links en rechts met -1:

\(2P\cdot r \cdot \cos(\alpha) = P^2- b^2 +r^2 \cdot \sin(\alpha)^2 + r^2 \cdot \cos(\alpha)^2\)

trek de laatste 2 termen rechts samen (= haal \(r^2\) buiten haakjes):

\(2P\cdot r \cdot \cos(\alpha) = P^2- b^2 +r^2 \cdot \left[\sin(\alpha)^2 + \cos(\alpha)^2 \right]\)

gebruik: \(\sin(\alpha)^2 + \cos(\alpha)^2 = 1\)

\(2P\cdot r \cdot \cos(\alpha) = P^2- b^2 +r^2 \)

deel links en rechts door 2Pr:

\(\cos(\alpha) = \large \frac{P^2- b^2 +r^2}{2Pr} \)

waardoor

\(\alpha = \text{acos} \left( \large \frac{P^2- b^2 +r^2}{2Pr} \right) \)

Hartelijk dank voor dit uitgebreide antwoord! Ik heb het toegepast in mijn software toepassing en werkt inderdaad vlekkeloos, bedankt!

Overigens ben ik er inmiddels achter gekomen dat dit simpelweg de cosinus regel is. De oorspronkelijke formule is daar ook een afgeleide van