Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Beste vrienden,
Ik moet nogmaals jullie hulp inroepen.
Ik ben een reeks oefeningen aan het maken waarbij ik goniometrische bewerkingen moet vereenvoudigen of gelijkheden moet bewijzen.
Nu zit ik bij een deel van de oefeningen volledig vast. Ik denk dat ik een bepaalde volgorde van bewerkingen moet aanhouden zoals breuken vereenvoudigen, haakjes wegwerken, vermenigvuldigen enz om tot het gewenste resultaat te komen.
Een oefening waar ik onder andere moeite mee heb is de volgende:
Vereenvoudig
(tanA +1/tanA)(cosA -1/cosA)(sinA -1/sinA)
Zou iemand me op weg kunnen helpen
Alvast bedankt,
Jokke
Ik moet nogmaals jullie hulp inroepen.
Ik ben een reeks oefeningen aan het maken waarbij ik goniometrische bewerkingen moet vereenvoudigen of gelijkheden moet bewijzen.
Nu zit ik bij een deel van de oefeningen volledig vast. Ik denk dat ik een bepaalde volgorde van bewerkingen moet aanhouden zoals breuken vereenvoudigen, haakjes wegwerken, vermenigvuldigen enz om tot het gewenste resultaat te komen.
Een oefening waar ik onder andere moeite mee heb is de volgende:
Vereenvoudig
(tanA +1/tanA)(cosA -1/cosA)(sinA -1/sinA)
Zou iemand me op weg kunnen helpen
Alvast bedankt,
Jokke
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Je weet hoe je producten uitwerkt?Jokke schreef: Vereenvoudig
(tanA +1/tanA)(cosA -1/cosA)(sinA -1/sinA)
Vermenigvuldig de eerste twee factoren;
Ook is mogelijk: vermenigvuldig de laatste twee factoren ...
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Ik heb geprobeerd de oefening zo ver mogelijk op te lossen maar ik ben er nog niet helemaal.
Ik vraag me vooral af of mijn werkwijze goed is.
Zoals je voorstelde heb ik de eerste twee termen vermenigvuldigd en het resultaat met de laatste term vermenigvuldigd.
Op het einde blijf ik nog met een paar breuken over die ik niet weggewerkt krijg.
Dit is wat ik er tot nu toe van gemaakt heb.
(tanA + 1/tanA) (cosA – 1/cosA) (sinA – 1/sinA)
De eerste twee termen met elkaar vermenigvuldigen:
tanA.cosA – tanA/cosA + cosA/tanA – 1/tangA.cosA
tangA vervangen door sinA/cosA:
sinA.cosA/cosA – sinA/cos²A + cos²A/sinA – cosA/sinA.cosA
Schrappen en vermenigvuldigen met (sinA - 1/sinA):
(sinA – sinA/cos²A + cos²A/ sinA – 1/sinA) (sinA - 1/sinA)
Sin²A – sinA/sinA – sin²A/cos²A + sinA/cos²A.sinA + sinA.cos²A/sinA – cos²A/sin²A – sinA/sinA + 1/sin²A
Schrappen:
Sin²A – 1 – sin²A/cos²A + 1/cos²A + cos²A – cos²A/sin²A + 1/sin²A
Groeperen:
Sin²A + cos²A – 1 – sin²A/cos²A – cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A
1 – 1 - sin²A/cos²A – cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A
Is dit eigenlijk een goede manier om zo’n oefening op te lossen?
Ik vraag me vooral af of mijn werkwijze goed is.
Zoals je voorstelde heb ik de eerste twee termen vermenigvuldigd en het resultaat met de laatste term vermenigvuldigd.
Op het einde blijf ik nog met een paar breuken over die ik niet weggewerkt krijg.
Dit is wat ik er tot nu toe van gemaakt heb.
(tanA + 1/tanA) (cosA – 1/cosA) (sinA – 1/sinA)
De eerste twee termen met elkaar vermenigvuldigen:
tanA.cosA – tanA/cosA + cosA/tanA – 1/tangA.cosA
tangA vervangen door sinA/cosA:
sinA.cosA/cosA – sinA/cos²A + cos²A/sinA – cosA/sinA.cosA
Schrappen en vermenigvuldigen met (sinA - 1/sinA):
(sinA – sinA/cos²A + cos²A/ sinA – 1/sinA) (sinA - 1/sinA)
Sin²A – sinA/sinA – sin²A/cos²A + sinA/cos²A.sinA + sinA.cos²A/sinA – cos²A/sin²A – sinA/sinA + 1/sin²A
Schrappen:
Sin²A – 1 – sin²A/cos²A + 1/cos²A + cos²A – cos²A/sin²A + 1/sin²A
Groeperen:
Sin²A + cos²A – 1 – sin²A/cos²A – cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A
1 – 1 - sin²A/cos²A – cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A
Is dit eigenlijk een goede manier om zo’n oefening op te lossen?
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Ziet er goed uit, ook voor de methode. Dit kan je nog vereenvoudigen. Rangschik eventueel op noemers.Jokke schreef:1 – 1 - sin²A/cos²A – cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Deze opgave kan ook op snellere wijze ... , maar maak dit nu eerst af want je bent er bijna!Jokke schreef:Is dit eigenlijk een goede manier om zo’n oefening op te lossen?
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Ik heb het gevonden denk ik:
1 - 1 - sin²A/cos²A - cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A
Groeperen:
1 - 1 - (sin²A - 1)/cos²A - (cos²A - 1)/sin²A
-(sin²A - 1) = cos²A en -(cos²A - 1) = sin²A -> hoofdwet goniometrie
Ingevuld geeft dit:
1 - 1 + 1 + 1 = 2
kan dit kloppen?
Je zei dat er een eenvoudigere methode is om een oefening als deze op te lossen. Bij de volgende oefeningen heb ik steeds cos²A of sin²A vervangen door 1 - sin²A of 1 - cos²A dit werkt makkelijker vind ik. Is dit een betere methode of is er nog een betere.
Zou iemand me ook even kunnen laten weten hoe ik deftige breuken kan typen want met die schuine streepjes oogt het erg onoverzichtelijk vind ik.
Bedankt
1 - 1 - sin²A/cos²A - cos²A/sin²A + 1/cos²A + 1/sin²A
Groeperen:
1 - 1 - (sin²A - 1)/cos²A - (cos²A - 1)/sin²A
-(sin²A - 1) = cos²A en -(cos²A - 1) = sin²A -> hoofdwet goniometrie
Ingevuld geeft dit:
1 - 1 + 1 + 1 = 2
kan dit kloppen?
Je zei dat er een eenvoudigere methode is om een oefening als deze op te lossen. Bij de volgende oefeningen heb ik steeds cos²A of sin²A vervangen door 1 - sin²A of 1 - cos²A dit werkt makkelijker vind ik. Is dit een betere methode of is er nog een betere.
Zou iemand me ook even kunnen laten weten hoe ik deftige breuken kan typen want met die schuine streepjes oogt het erg onoverzichtelijk vind ik.
Bedankt
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Er moet 1 uitkomen ...
Een breuk met Latex:
Je kan dit bij beantwoording (quote), kopieren en aanpassen.
Eenvoudiger werkt de opgave door elke factor eerst als breuk te schrijven, bv:
Een breuk met Latex:
Je kan dit bij beantwoording (quote), kopieren en aanpassen.
Eenvoudiger werkt de opgave door elke factor eerst als breuk te schrijven, bv:
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Je bent de één-na-laatste term kwijtgeraakt ... , ga dat na!Jokke schreef: Sin²A – sinA/sinA – sin²A/cos²A + sinA/cos²A.sinA + sinA.cos²A/sinA – cos²A/sin²A – sinA/sinA + 1/sin²A
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Je hebt gelijk in ben een - sinA/sinA vergeten.SafeX schreef:Je bent de één-na-laatste term kwijtgeraakt ... , ga dat na!Jokke schreef: Sin²A – sinA/sinA – sin²A/cos²A + sinA/cos²A.sinA + sinA.cos²A/sinA – cos²A/sin²A – sinA/sinA + 1/sin²A
De 2 die ik uitkom moet dus nog met 1 verminder worden en wordt dus 1.
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Ok, en nu de snellere methode ... ???
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Ik zie het niet
je bedoelt:
((tan²A + 1)/tang )((cos²A - 1)/cosA)((sin²A - 1)/sinA)
En dit dan verder uitwerken.
Je kan wel verder door bv:
((tan²A + 1)/tang )((-sin²A)/cosA)((-cos²A)/sinA)
te schrijven. Maar verder raak ik niet.
Zou je nog een tip kunnen geven?
je bedoelt:
((tan²A + 1)/tang )((cos²A - 1)/cosA)((sin²A - 1)/sinA)
En dit dan verder uitwerken.
Je kan wel verder door bv:
((tan²A + 1)/tang )((-sin²A)/cosA)((-cos²A)/sinA)
te schrijven. Maar verder raak ik niet.
Zou je nog een tip kunnen geven?
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Jokke schreef: ((tan²A + 1)/tang )((-sin²A)/cosA)((-cos²A)/sinA)
Als je in de eerste breuk teller en noemer met cos^2(alpha) vermenigvuldigt ... kan je alles vereenvoudigen
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
GevondenSafeX schreef:Jokke schreef: ((tan²A + 1)/tang )((-sin²A)/cosA)((-cos²A)/sinA)
Als je in de eerste breuk teller en noemer met cos^2(alpha) vermenigvuldigt ... kan je alles vereenvoudigen
cos²A/cos²A ((tan²A + 1)/tang )((-sin²A)/cosA)((-cos²A)/sinA)
cos²A/cos²A met eerste term vermenigvuldigen en laatste termen met elkaar vermenigvuldigen
((sin²A + cos²A)/cosA.sinAC) . (sin²A.cos²A)/cosA.sinA
(1/cosA.sinA).(cosA.sinA) = 1
Dit is inderdaad een veel eenvoudiger methoder maar hoe zie je dit? denk je direct bij tang²A aan vermeigvuldigen met cos²A om de noemer weg te werken of is het iets anders? ik zou er alleen niet opgekomen zijn.
Bedankt
Re: Goniometrie vereenvoudigen en gelijkheden bewijzen
Prima!Jokke schreef:Dit is inderdaad een veel eenvoudiger methode maar hoe zie je dit? denk je direct bij tang²A aan vermenigvuldigen met cos²A om de noemer weg te werken of is het iets anders? ik zou er alleen niet opgekomen zijn.
Dat is inderdaad de reden om de breuk enkelvoudig te maken.denk je direct bij tang²A aan vermenigvuldigen met cos²A om de noemer weg te werken
Succes verder.