Wiskundeforum

Goedendag,

Ik ben bezig met een aantal opgaven en bij een opgave is het de bedoeling om te herleiden tot de vorm \(N = b * g^t\). Mijn uitwerking is:

\((1/2)^{t-3}*(1/2)^{-3t+2}=> (1/2)^{-2t - 1} => ((1/2)^-2)^t * (1/2)^{-1} => 1/2 * 4t \)

Het boek komt echter uit op \(2 * 4t\), door \((1/2) \) als eerst te herleiden tot \((2^{-1})\)

Klopt het dat de uitwerking in het boek de enigste manier is om dit te herleiden? Zoja, waarom klopt mijn uitwerking niet?

Ik denk dat ik het zie. De vorm \(N = b * g^t\) is niet wat ik krijg met mijn uitwerking, er mag geen breuk staan.

Je was er bijna.
Je hebt in je uitwerking \((1/2)^{-1}=1/2\) gesteld, maar dat moet \((1/2)^{-1}=2\) zijn.

\((1/2)^{t-3}*(1/2)^{-3t+2}= (1/2)^{-2t - 1} = ((1/2)^{-2})^t * (1/2)^{-1} = 4^t * 2 = 2 * 4^t \)

Je boek volgt een iets andere route:

\((1/2)^{t-3}*(1/2)^{-3t+2}= (1/2)^{-2t - 1} = ((1/2)^{-1})^{2t+1} = 2^{2t+1} = 2^1 * 2^{2t} = 2 * 4^t \)

Vaak zijn er verschillende routes naar het antwoord, maar alle einduitkomsten moeten gelijk zijn.


PS:
Je werkt met uitdrukkingen die gelijk zijn, gebruik daarvoor het = teken, en niet het pijltje =>.
Het pijltje gebruiken we bij afleidingen (als .... dan .... constructies), bijvoorbeeld:
ALS a gelijk is aan b DAN is b gelijk aan a:
a=b => b=a

arie schreef: ↑

14 aug 2020, 20:24

Je was er bijna.
Je hebt in je uitwerking \((1/2)^{-1}=1/2\) gesteld, maar dat moet \((1/2)^{-1}=2\) zijn.

\((1/2)^{t-3}*(1/2)^{-3t+2}= (1/2)^{-2t - 1} = ((1/2)^{-2})^t * (1/2)^{-1} = 4^t * 2 = 2 * 4^t \)

Je boek volgt een iets andere route:

\((1/2)^{t-3}*(1/2)^{-3t+2}= (1/2)^{-2t - 1} = ((1/2)^{-1})^{2t+1} = 2^{2t+1} = 2^1 * 2^{2t} = 2 * 4^t \)

Vaak zijn er verschillende routes naar het antwoord, maar alle einduitkomsten moeten gelijk zijn.


PS:
Je werkt met uitdrukkingen die gelijk zijn, gebruik daarvoor het = teken, en niet het pijltje =>.
Het pijltje gebruiken we bij afleidingen (als .... dan .... constructies), bijvoorbeeld:
ALS a gelijk is aan b DAN is b gelijk aan a:
a=b => b=a

Bedankt voor je uitleg arie! Ik kan weer verder :- )

Wellicht kan iemand mij ook hierbij helpen.

In een opgave wordt de volgende uitwerking getoond:

\((x^2 + 1)(x + sqrt(x)) = (x^2 + 1)(1 + x^{1/2})\)

Ik snap niet hoe x = 1 in \((x + sqrt(x))\) naar \((1 + x^{1/2})\) tot stand komt.

Dat klopt niet:

\((x+\text{sqrt}(x))=(x+\sqrt{x}) = (x+x^{1/2}) \neq (1+x^{1/2})\)

Wat is de opgaven en wat is het eindantwoord volgens de uitwerking?

arie schreef: ↑

21 aug 2020, 21:01

Dat klopt niet:

\((x+\text{sqrt}(x))=(x+\sqrt{x}) = (x+x^{1/2}) \neq (1+x^{1/2})\)

Wat is de opgaven en wat is het eindantwoord volgens de uitwerking?

Hoi Arie,

De uitwerking: https://imgur.com/a/wVwLl83

De opdracht was differentieren.

Ik vermoed een typefout in de vraagstelling, en dat ze bedoeld hadden:

\(f(x) = (x^2+1)(1+\sqrt{x})\)

Dan zou de rest wel kloppen.

Dankjewel Arie,

Misschien kan iemand mij ook helpen bij de volgende opgave:

Toon aan dat \( AP = \sqrt{x^2 + 0.01}\) en \(BP = \sqrt{x^2 - 0.8x + 0.2}\) en dat hieruit volgt dat de totale tijd t in uren die Frits nodig heeft voor het traject APB gelijk is aan \(t = \frac{1}{18}\sqrt{x^2 + 0.01} + \frac{1}{12} \sqrt{x^2 - 900.8x + 0.2}\).

- Snelheid op traject AP = 12 km/u.
- Snelheid op traject BP = 18 km/u.

Als er gevraagd wordt om iets te bewijzen of aan te tonen, weet ik vrijwel nooit hoe ik dit wiskundig moet aanpakken. Bij deze vraag wordt er gevraagd om aan te tonen dat de formules die behoren tot AP en BP kloppen en dat daaruit volgt dat APB gelijk is aan AP + BP. Ik weet niet wat de aanpak is om voor deze en soortgelijke vraagstukken wiskundig bewijs te leveren.

Heb je ook de coordinaten van de punten A, B en P?
(Of een plaatje bij de opgave?)

arie schreef: ↑

02 sep 2020, 21:41

Heb je ook de coordinaten van de punten A, B en P?
(Of een plaatje bij de opgave?)

Jazeker,

https://imgur.com/a/EiJhLRF

Ik weet alleen niet of ik de hele opgave mocht posten, i.v.m. copyright.


opm: zie trouwens een fout in mij voorgaande post, er staat 900.8x, maar dit moet 0.8x zijn.

Sjaak21 schreef: ↑

30 aug 2020, 15:59

Toon aan dat \( AP = \sqrt{x^2 + 0.01}\) en \(BP = \sqrt{x^2 - 0.8x + 0.2}\) en dat hieruit volgt dat de totale tijd t in uren die Frits nodig heeft voor het traject APB gelijk is aan \(t = \frac{1}{18}\sqrt{x^2 + 0.01} + \frac{1}{12} \sqrt{x^2 - 0.8x + 0.2}\).

- Snelheid op traject AP = 12 km/u.
- Snelheid op traject BP = 18 km/u.

Als er gevraagd wordt om iets te bewijzen of aan te tonen, weet ik vrijwel nooit hoe ik dit wiskundig moet aanpakken. Bij deze vraag wordt er gevraagd om aan te tonen dat de formules die behoren tot AP en BP kloppen en dat daaruit volgt dat APB gelijk is aan AP + BP. Ik weet niet wat de aanpak is om voor deze en soortgelijke vraagstukken wiskundig bewijs te leveren.

In een bewijs geef je een afleiding van een conclusie die volgt uit een aantal dingen die vooraf gegeven zijn.
Vaak kan je uitgaan van de gegevens, en dan stap voor stap naar de conclusie werken.
Dit is vergelijkbaar met het uitrekenen van een som, waarbij je vanuit iets wat gegeven is stap voor stap naar de uitkomst werkt.

Dit doen we ook in dit geval:

Zorg eerst dat alle eenheden waarmee we werken gelijk zijn:
de afstand x is uitgedrukt in km, herleid daarom eerst alle afstanden naar km:
400 m = 0.4 km
200 m = 0.2 km
100 m = 0.1 km

Dan zie je in het plaatje een rechthoekige driehoek aangegeven \(A A' P\).
De lengtes van de rechthoekzijden zijn bekend:
\(A'P = x\)
\(AA' = 0.1\)
gebruik dan de stelling van Pythagoras om de lengte van de schuine zijde te berekenen:
\(AP^2 = A'P^2 + AA'^{\;2}\)
dus
\(AP = ...\)
en dit is de afstand van A naar P.

Het tweede deel, van P naar B is ook de schuine zijde van een rechthoekige driehoek.
Ik heb het punt B' in het plaatje getekend, en aangegeven dat hoek PB'B 90 graden is (dit had eigenlijk al in de opgave moeten staan, want het blijkt niet uit het plaatje).
De afstand B'B = 0.2.
Wat is de afstand PB' ? (hint: A'B' = 0.4 en A'P = x)
Kan je nu ook de afstand PB berekenen?

Voor de snelheid gebruik je de formule
\(snelheid = \frac{afstand}{tijd}\)
ofwel
\(afstand = snelheid \cdot tijd\)
ofwel
\(tijd = \frac{afstand}{snelheid}\)

Kan je nu de tijd die Frits over AP doet berekenen, en ook de tijd nodig voor PB?
Wat is dan de totale tijd?
En als je dit hebt uitgewerkt, heb je meteen het bewijs van de juistheid van de gegeven formule.

Lukt het hiermee?

NOOT:
Ik verwacht dat de snelheid op traject AP = 18 km/u en op traject BP = 12 km/u.
Op hard zand kan je sneller lopen dan op mul zand.