Wiskundeforum

Voor een opdracht moet ik 3 limieten uitberekenen, maar ééntje lijkt me zo vaag, doe ik het wel goed?

lim x^2 * cos (1/x)
x->0

Ik zou bij deze niet anders weten dan simpelweg de 0 invullen, en dat het limiet 0 is. Klopt dit wel??

Annemieke (6 vwo)

Simpelweg x=0 invullen kan niet, want wat wordt dan 1/x.
Je weet echter wel dat cos(1/x) tussen -1 en +1 ligt voor alle x behalve x=0.
dus |x²cos(1/x)|=x²|cos(1/x|<=x². Kan je hiermee verder?

SafeX schreef: dus |x²cos(1/x)|=x²|cos(1/x|<=x². Kan je hiermee verder?

Kan hier denk ik wel verder mee, bedoel je dat ik
x² |cos(1/x) | <= x² moet oplossen, en daarna pas x=0 invullen?

Ik snap wel wat je doet, alleen niet waarom en vooral hoe je dan verder gaat...

Herschrijf eens als en pas dan de stelling van de L'Hospital toe.

Uuh, sorry maar ik kan je tekst tussen niet lezen!
En ik weet ook niet echt wa de stelling van de L'Hospital is, maar ik google het even

AnneB schreef:Uuh, sorry maar ik kan je tekst tussen niet lezen!
En ik weet ook niet echt wa de stelling van de L'Hospital is, maar ik google het even

Het lijkt er op dat er iets mis is met de LaTex-weergave, dus doe ik het maar even zonder: x²cos 1/x is te schrijven als (cos 1/x)/(1/x²). Pas nu hierop de stelling van de L'Hospital toe.

okee ik kan het nu wel lezen, ik snap het. Alleen ik heb nog nooit gehoord van die regel van l'hospital, is er ook een andere manier om het te doen?

Een alternatief is al gegeven door SafeX hierboven, hierbij nog wat extra toelichting daarop:

Je weet dat -1 <= cos(1/x) <= 1
en x^2 >= 0 voor elke x.

Dan is
-x^2 <= (x^2)*cos(1/x) <= +x^2

de limiet voor x->0 van -x^2 = 0
de limiet voor x->0 van +x^2 = 0
maar dan moet ook gelden
de limiet voor x->0 van (x^2)*cos(1/x) = 0

Dit is de insluitstelling, zie bijvoorbeeld http://www.math.uu.nl/people/vdleur/inf/ws1/06infi6.pdf

(@arno: de slash '/' in je formuleafsluiting ontbreekt, wsch is dat het probleem)

Okee tnx ik begrijp wat je doet.
Uiteindelijk is het limiet 0 (?)

We hebben:



Je kan hiermee nog steeds cos(1/x) niet bepalen voor x=0, dus invullen mag niet.
Je weet echter wel dat (x^2)cos(1/x) naar nul gaat als x naar nul gaat, dus de limietwaarde is nul.

Meer algemeen: je hoeft voor x=a de functiewaarde f(a) niet te kunnen uitrekenen om toch de limiet
voor x naar a van f(x) te kunnen bepalen.
M.a.w.: je hoeft hier x=0 niet in te vullen om toch de limietwaarde te kennen.

Overigens: vaak kan je een functie omvormen tot een soortgelijke functie waarin je x wel mag invullen.
Een voorbeeld van zo'n omvorming is:



naar



in dit geval wordt



waarbij je x in de laatste stap wel mag invullen (maar nog steeds niet in je oorspronkelijke formule).

Bedankt.

Ik weet inderdaad van dat omschrijven, dat gaat ook (bijna) altijd goed, alleen op 1 of andere manier lukken me goniofuncties niet. Bedankt voor de uitleg!

Een raad, mits je een comp prg hebt wat een grafiek van een functie kan tekenen zoals bv WinPlot (gratis)
Teken dan: de gr van x²cos(1/x), x² en -x².
Je kunt nu prachtig 'zien' wat het bepalen van de limiet inhoud mbv de definitie. Ken je de definitie eigenlijk?

Of via wolframalpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 281%2Fx%29

Je moet iets duidelijker zijn met je vraag. De site die je aangeeft lijkt me in orde.