Steeproefvariantie toegepast op binomiale verdeling

[Saar]

Hallo,

In mijn cursus van biomedische statistiek wordt de definitie van de steekproefvariante S² toegepast op de binomiale verdeling.
Dit staat er:
S² = [de som van (Xi- Xgem)² ]/ (n-1)
= [de som van Xi (1-P)² + (n - de som van Xi)(0-P)²] / (n-1)
= [nP(1-P)²+(n-nP)P²] / (n-1)
= [nP (1-P)[1-P+P)]/(n-1)
= [nP(1-P)]/ (n-1)

Ik snap echter de overgang van de 1ste naar de 2e regel niet. Kan iemand me hier misschien ff mee helpen.
Alvast bedankt!

[SafeX]

Die overgang begrijp ik ook niet!
De eerste regel is gewoon de def van S² en moet met de uitkomsten van de steekproef worden berekend. Het vervelende van deze formule is dat je eerst je xg(emiddeld) moet kennen om S² te berekenen.

[arie]

Als we voor het gemak uitsluitend naar de teller kijken, dan staat er:



waarbij:
de individuele waarnemingen =

(het gaat hier immers om een binomiale verdeling) en
gemiddelde =

We splitsen deze sommatie in 2 delen:

DEEL 1:
Voor alle xi = 1 is de individuele term in de sommatie = (xi-P)^2 = (1-P)^2.
In totaal hebben we

van deze waarnemingen waarbij xi = 1 is (immers: als xi = 1 wordt er 1 bij de laatste som opgeteld, terwijl als xi = 0 er niets bij wordt opgeteld).
Dit levert als eerste deel van de oorspronkelijke sommatie:


DEEL 2:
Omgekeerd geldt voor alle xi = 0 dat de individuele term in de som = (xi-P)^2 = (0-P)^2.
Omdat het aantal waarnemingen waarvoor xi=0 gelijk is aan [ n - (aantal waarnemingen xi=1) ] =

wordt het tweede deel van de sommatie:


Bij elkaar opgeteld vormen deze 2 delen de oorspronkelijke sommatie.