GO is een lineaire functie van q, dat wil zeggen: de grafiek is een rechte lijn.
Deze heeft de vorm:
y = a*x + b
en in ons geval:
GO = a*q + b
waarbij a en b constanten zijn die we zoeken, zodanig dat de lijn zo goed mogelijk door alle gegeven punten loopt.
In Excel (Engelse versie) geeft de functie 'slope' de waarde van a, en de functie 'intercept' de waarde van b.
In beide functies voer je alle bekende y-waarden in (hier GO, kolom C), daarna de x-waarden (hier q, kolom B).
In de tabel hierboven zijn:
- cel C15:
=SLOPE(C3:C13;B3:B13)
- cel C16:
=INTERCEPT(C3:C13;B3:B13)
Dit geeft dus het resultaat (afgerond):
GO = -0.00105 * q + 125
Voor de kromme GTK lijkt op basis van je gegevens dit de relatie met q:
\(GTK = MK + \frac{c}{q}\)
waarbij c een constante is die we zoeken.
De kromme moet voor die waarde van c dan zo goed mogelijk door alle bekende punten lopen.
MERK OP: de GTK waarde bij q=0 vervalt: als q=0 wordt de noemer van de breuk nul, en dat mag niet.
Deze formule veranderen we ook eerst naar een lineaire vorm:
\(GTK = MK + \frac{c}{q}\)
\(GTK - MK = \frac{c}{q}\)
neem nu beiderzijds de reciproke (= omgekeerde = 1/die term):
\(\frac{1}{GTK - MK} = \frac{q}{c}\)
ofwel
\(\frac{1}{GTK - MK} = \frac{1}{c}\cdot q\)
en dit heeft weer de vorm
y = a * x + b
waarbij nu b=0.
In Excel kunnen we een kolom maken met alle waarden van
\(\frac{1}{GTK - MK}\) (kolom H in het plaatje),
en weer de optimale lijn bepalen als hierboven:
- cel H15:
=SLOPE(H4:H13;B4:B13)
- cel H16:
=INTERCEPT(H4:H13;B4:B13)
De slope nu gelijk is aan 1/c, dus c = 1/slope = 894373, of afgerond: c=900000.
De intercept is erg klein ten opzichte van de waarden in kolom H, zoals verwacht kunnen we die dus nul stellen.
We hebben dan:
\(GTK = MK + \frac{900000}{q}\)
ofwel omdat MK altijd 40 is:
\(GTK = 40 + \frac{900000}{q}\)
(zo nodig kan je dit controleren door voor alle bekende waarden van q de bijbehorende waarde van GTK uit te rekenen)
Tenslotte de snijpunten: daarvoor geldt:
\(GO = GTK\)
ofwel:
\(-0.00105 \cdot q + 125 = 40 + \frac{900000}{q}\)
vermenigvuldig links en rechts met q:
\(-0.00105 \cdot q^2 + 125\cdot q = 40\cdot q + 900000\)
ofwel:
\(-0.00105 \cdot q^2 + 85\cdot q - 900000 = 0\)
ofwel:
\(0.00105 \cdot q^2 - 85\cdot q + 900000 = 0\)
en dit is een kwadratische vergelijking in q, die je met de abc-formule kan oplossen.
Ter controle: ik kom uit op:
\(q_1 = 12526.61\)
en
\(q_2 = 68425.77\)
