Bewijs: sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

[henkoegema]

Als ik moet bewijzen dat: sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y (wat me niet lukt ), mag ik dan bewijzen dat
sinh x cosh y + cosh x sinh y = sinh(x + y) (wat me wel lukt ) ?

Mvgr.

[arie]

Dat mag, immers: als a=b dan is b=a.
Kan je het bewijs dat je gevonden hebt ook in omgekeerde volgorde opschrijven?

[henkoegema]

Het bewijs in omgekeerde volgorde is bij mij: (heb het gewoon van rechts naar links opgeschreven)

\(sinh(x+y)= \frac{e^{x+y}-e^{-(x+y))}}{2}=\frac{2(e^{x+y}-e^{-(x+y)})}{4}=\frac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}=\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}+\frac{e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}+\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)\)

Dit vind ik moeilijker te volgen dan: sinh x cosh y + cosh x sinh y = sinh(x + y).

[arie]

Het bewijs in omgekeerde volgorde is bij mij: (heb het gewoon van rechts naar links opgeschreven)

\(\sinh(x+y)= \frac{e^{x+y}-e^{-(x+y))}}{2}=\frac{2(e^{x+y}-e^{-(x+y)})}{4}=\frac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}\)

= ... (extra tussenstap; zie hieronder)

\(=\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}+\frac{e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}+\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\)

\(=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\)


Dit vind ik moeilijker te volgen dan: sinh x cosh y + cosh x sinh y = sinh(x + y).

Je bewijs is prima.
In deze richting opgeschreven zou je nog een extra tussenstap kunnen toevoegen om het iets duidelijker te maken:

\(= \frac{2e^{x+y}\;-\;2e^{-x-y} \;+\; (e^{x-y} - e^{x-y}) \;+\; (e^{-x+y} - e^{-x+y}) }{4}\)

Maar het komt inderdaad altijd een beetje mysterieus over om ergens iets bij op te tellen en daarna direct weer van af te trekken (hier doe je dat zelfs 2 keer achter elkaar).
Pas in het vervolg wordt dan duidelijk waarom je dit doet.

Het bewijs in jouw oorspronkelijke richting geschreven is inderdaad eenvoudiger te volgen (dan vallen die termen gewoon tegen elkaar weg), en daar zou ik ook de voorkeur aan geven.
En nogmaals: dat is ook een heel correcte werkwijze om een gelijkheid te bewijzen; het kan en mag altijd in 2 richtingen.

[henkoegema]

Dank je voor de uitleg. (en de moeite/tijd die je altijd neemt)

Mvgr.