Problemen met het oplossen van een vergelijking met e^macht

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
Timo19
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 04 okt 2021, 20:28

Problemen met het oplossen van een vergelijking met e^macht

Bericht door Timo19 » 04 okt 2021, 20:50

Beste,

In de afbeelding is te zien dat ze de afgeleide van de functie f(x)hebben bepaald, hier ervaar ik geen problemen mee. Het gedeelte waar de afgeleide functie wordt opgelost tot x=.... is voor mij op dit moment een raadsel. Is er iemand die mij kan uitleggen hoe dit in ze werk gaat bij een e^macht?

https://postimg.cc/H8rTQcf4

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3709
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Problemen met het oplossen van een vergelijking met e^macht

Bericht door arie » 04 okt 2021, 22:47

We hebben
\(e^x - 3e^{-3x}=0\)
ontbind dit in factoren = haal \(e^{-3x}\) buiten haakjes:
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=0\)
(ter controle:
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=e^{-3x}\cdot e^{4x} - 3\cdot e^{-3x} = e^{(-3x + 4x)} - 3 e^{-3x} = e^x - 3e^{-3x}\)
dit klopt dus)

Als een product van 2 factoren A * B = 0 is, dan is A = 0 of B = 0 (of beide zijn gelijk aan nul).
Voor onze vergelijking
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=0\)
geeft dat:
\(e^{-3x} = 0 \; \vee \; e^{4x} - 3=0\)

Omdat een macht van een positief grondtal altijd groter is dan nul, kan \(e^{-3x}\) nooit gelijk zijn aan nul.
De eerste mogelijkheid geeft dus geen oplossingen.

Dan de tweede mogelijkheid:
\(e^{4x} - 3=0\)
ofwel
\(e^{4x} = 3\)
Neem nu links en rechts de natuurlijke logaritme:
\(\ln(e^{4x}) = \ln(3)\)
ofwel
\(4x = \ln(3)\)
Toelichting: de natuurlijke logaritme van een getal geeft de macht waartoe je e (= 2.718281828...) moet verheffen om dat getal te krijgen. En als dat getal is uitgedrukt als macht van e hebben we dus direct de gezochte macht te pakken.
Vergelijkbaar met deze gelijkheid in grondtal 10:
\(\log(10^2) = 2\)

Tenslotte vinden we (links en rechts delen door 4):
\(x = \frac{\ln(3)}{4}\)

Wordt het hiermee wat duidelijker of heb je meer info nodig?

Timo19
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 04 okt 2021, 20:28

Re: Problemen met het oplossen van een vergelijking met e^macht

Bericht door Timo19 » 06 okt 2021, 11:31

Helemaal duidelijk! Heel erg bedankt voor de snelle reactie.

Plaats reactie