Wiskundeforum

Beste iedereen

Ik zit vast bij een maximumprobleem voor wiskunde. Zouden jullie mij willen helpen?

Opgave:
Annelies heeft een draad van 16m, waarmee ze een gebied voor haar konijntjes wil afbakenen in de tuin. Het plekje moet de vorm hebben van een rechthoek met aan 1 van de zijden een halve cirkel.
Wat moeten de afmetingen van dit stukje tuin zijn, opdat de konijntjes zoveel mogelijk plaats zouden hebben om te spelen?

Alvast bedankt

Het konijnenveld heeft een vorm zoals in bovenstaand plaatje: een rechthoek ABCD met daaraan vast een halve cirkel met cirkelmiddelpunt M en onbekende straal x.

Het totale oppervlak van het konijnenveld is
het oppervlak van de halve cirkel \(= \frac{1}{2}(\pi x^2)\),
PLUS
het oppervlak van de rechthoek = basis * hoogte = AB * AD = AB * 2x

Als we nu ook de lengte AB nog kunnen uitdrukken in x, dan kunnen we ook het totale oppervlak uitdrukken in x.
Gebruik hiervoor dat de omtrek van het veld gelijk is aan 16 meter:
lengte boog DA + lengte AB + lengte BC + lengte CD = 16
ofwel (want lengte AB = lengte CD):
\(\frac{1}{2}(2\pi x) + AB + 2x + AB = 16\)

Als je AB uitgedrukt hebt in x, wat is dan het totale oppervlak als functie van x ?
En tenslotte: voor welke x is het totale oppervlak maximaal ?

Kom je hiermee verder?