Pagina 1 van 1
Stelling van Moivre
Geplaatst: 22 apr 2023, 11:41
door Marco Craamer
Hallo allemaal,
Langzamerhand ben ik aan het toewerken naar de stelling van Moivre. Ik heb nog een paar stappen te gaan.
Dit begrijp ik echter niet:
}^n)
Ik kom uit op:
+i \cdot sin({\frac{\theta}{n}))
Terwijl het juiste antwoord
 + i \cdot sin (n \cdot \theta))
Moet zijn.
Het zit hem in de conversie van de polaire argument/angle:
.
Volgens kun je de hoeken bij elkaar optellen bij een wortel/exponent.
Dus:
}^n = 1^n \angle \frac{\theta}{n})
Waar gaat het bij mij fout?
Alvast bedankt!
Re: Stelling van Moivre
Geplaatst: 22 apr 2023, 13:59
door arie
Marco Craamer schreef: ↑22 apr 2023, 11:41
Volgens kun je de hoeken bij elkaar optellen bij een wortel/exponent.
\({(1 \angle \theta)}^n = 1^n \angle n\theta\)
Voorbeeld:
Als
\(1 \angle \theta = \cos \theta + i \sin \theta\)
dan is
\((1 \angle \theta)^2 = (\cos \theta + i \sin \theta)^2\)
\(= \cos^2 \theta +2 i \sin \theta \cos \theta + i^2 \sin^2 \theta\)
\(= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta +2 i \sin \theta \cos \theta \)
\(= \cos 2\theta + i\sin 2\theta \) (dit weten we vanuit de goniometrie)
\(= 1 \angle 2\theta\)
Re: Stelling van Moivre
Geplaatst: 22 apr 2023, 16:43
door Marco Craamer
Dank je wel!
Ja, dat is inderdaad een duidelijk voorbeeld.
Maar dan de logica erachter. Bijvoorbeeld deze:
Dit wordt dus:
Oftewel:
 + \frac{1}{2} i)
Met andere woorden, hier wordt wel het argument (90) gedeeld door de macht/exponent (3).
Daarom snap ik niet dat bij bovenstaand voorbeeld met n vermenigvuldigd wordt.
Met een vriendelijke groet,
Marco
Re: Stelling van Moivre
Geplaatst: 22 apr 2023, 16:52
door arie
\(\sqrt[3]{z}=z^{1/3}\neq z^3\)
en
\(\frac{1}{3}\cdot 90^\circ = \frac{90^\circ}{3}\)
Re: Stelling van Moivre
Geplaatst: 22 apr 2023, 17:23
door Marco Craamer
Ja inderdaad, nu zie ik het...
Daar zit mijn denkfout!
Dank je wel!