Aha, nu denk ik dat het helemaal duidelijk is.
Dus ik denk dat elke deelruimte ook op zichzelf moet worden afgebeeld, omdat dat de enige mogelijkheid is waarop een basis van die deelruimte nog steeds een basis blijft van die deelruimte. (Stel dat dit niet zo is, neem dan een vector in de deelruimte waarvan het beeld niet in deze deelruimte zit, vul dit aan tot een basis, en dan is het beeld onmogelijk een basis van de deelruimte. Het beeld van de deelruimte kan ook geen strikte deelverzameling zijn van de deelruimte zelf, want dan is de kern niet triviaal, en is er dus een vector die als beeld de nulvector heeft, vul deze vector aan tot een basis, en dan is het beeld onmogelijk vrij, dus geen basis.)
Dus hieruit kan al worden afgeleid dat ten opzichte van een will. basis, de matrix een diagonaalmatrix is. Want het beeld van de deelruimte voortgebracht door een basisvector is telkens de deelruimte zelf, dus is het beeld van deze basisvector lambda keer de basisvector zelf, wat resulteert in allemaal nullen in deze kolom buiten op de plaats van de diagonaal.
Elke vector moet ook een eigenvector zijn. (stel dat een vector dat niet is, neem dan de deelruimte voortgebracht door deze vector, dan is het beeld van deze deelruimte niet de deelruimte zelf, omdat het beeld van deze vector niet in de vectorruimte zit.)
stel dat er twee lambda's verschillend zijn neem bijvoorbeeld
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\lambda_i,\lambda_j)
de lambda's horende bij
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v_i,v_j)
dan is
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?f(v_i+v_j)=\lambda_i*v_i+\lambda_j*v_j)
wat enkel een veelvoud is van
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?v_i+v_j)
als deze twee lambda's gelijk zijn, maar dat zijn ze dus niet, wat tot een contradictie leidt.
Er moet wel nog lambda=0 uitgesloten worden, om obvious reasons.