HELPP?? bevolkingsonderzoek, kansen ..

[mariekeeee]

Wie kan helpen met deze opdrachten 4 &5, snap er niet veel van.......& moet dit morgen inleveren.

Je kunt besparen door het bloed van de personen van een groep te mengen. De gemiddelde besparing per persoon hangt af van 2 variabelen: het deel p van de bevolking dat positief reageert en de groepgrootte , je kunt hierbij de optimale groepsgrootte vinden, dus waarbij de besparing het grootst is.

Stel dat een deel p met 0<p<1 van de totale bevolking positef op een test reageert. In de opdracht 1&2 heb je gewerkt met p = 0,01 (1%) en bij 3 met 0,06 (6%). Ga weer uit van de groepsgrotte 5.

A: Druk de kans dat niemand ind e groep van 5 positief reageert uit in P
B: Druk ook de kans dat je zes keer moet testen uit in P
C: Reken na dat het verwachte gemiddelde aantal tests per groep gelijk zal zijn aan
6 - 5 * (1-p)^5.
D: De besparing voor de groep is nu 5 * (1-p)^5 - 1. Toon dat aan.
E: Druk de gemiddelde besparing per persoon GB uit in P
F: Waarom is het niet verstandig bloed te mengen als je weet dat 40 % van de bevolking positief is?
G: Onderzoek bij welke waarden van p er bij de groepsgrootte 5 een positieve gemiddelde besparing per persoon is

5. Ga er nu van uit dat 6% van de bevolking postief reageert op de test en neem als groepsgrootte de variable n.
A: Druk de kans dat niemand in de groep positief reageert uit in n
B: Druk ook de kans dat je n + 1 keer per groep moet testen uit in n
c: Reken na dat het verwachte gemiddelde aantal tests per groep gelijk zal zijn aan n + 1 - n * (0,94)^n.
D: De besparing voor de groep is nu n * (0,94)^n - 1, toon dat aan.
E: Druk nu ook de gemiddelde besparing per persoon GB uit in n
F: Gebruik de formule die je bij opdracht E hebt gevonden om te onderzoeken bij welke waarde van n de besparing maximaal is

[arie]

Eerst de eerste vraag:

A: Druk de kans dat niemand ind e groep van 5 positief reageert uit in P
de kans dat een persoon positief reageert = p
hoe groot is dan de kans dat een persoon NIET positief (= negatief) reageert?
Nu heb je een groep van 5 personen, gevraagd wordt de kans dat niemand daarvan positief reageert, dit is dus de kans dat
(persoon1 negatief) EN (persoon2 negatief) EN (persoon3 negatief) EN (persoon4 negatief) EN (persoon5 negatief)
Hoe groot is deze kans?
(Merk ook nog op dat je in dit geval met 1 keer testen weet dat iedereen negatief is)

B: Druk ook de kans dat je zes keer moet testen uit in P
Je moet 6 keer testen als er tenminste 1 persoon in de groep positief reageert, want dan reageert het gemengde bloed ook positief, maar weet je nog niet wie van de 5 er allemaal positief zijn (en daarvoor moet je elk van de 5 groepsleden apart testen).
Dit is dus de kans dat NIET alle 5 negatief zijn.
Hoe groot is deze kans (merk op: de kans dat de personen WEL alle 5 negatief zijn heb je in onderdeel A berekend)?

C: Reken na dat het verwachte gemiddelde aantal tests per groep gelijk zal zijn aan 6 - 5 * (1-p)^5.
Hoe groot is de kans P1 dat je 1 keer moet testen?
Hoe groot is de kans P6 dat je 6 keer moet testen?
Hoeveel keer zal je dus gemiddeld voor een groep van 5 personen moeten testen?

D: De besparing voor de groep is nu 5 * (1-p)^5 - 1. Toon dat aan.
Zonder dit mengschema zou je altijd 5 keer moeten testen.
Hoe vaak moet je met dit schema gemiddeld testen?
Wat is dus je besparing?

E: Druk de gemiddelde besparing per persoon GB uit in P
Hoeveel bespaar je op een groep van 5 personen?
Hoeveel is dit per persoon?

F: Waarom is het niet verstandig bloed te mengen als je weet dat 40 % van de bevolking positief is?
Als p=0.4, wat is dan de besparing?

G: Onderzoek bij welke waarden van p er bij de groepsgrootte 5 een positieve gemiddelde besparing per persoon is
Voor welke waarde van p is de besparing nul?

[mariekeeee]

Dus bij A: (1-p)^5 ?
B: 1-(1-p)^5
C: 6-5 x (1-0,01)^5 = 1,23, dus dan is het gemiddelde 1,23 ?
D: 5 x (1-0,01)^5 - 1 = 3,755 --> 5 - 3,755 = 1,245
E: GB : 1-(6-5 x (1-p)^5) / 5. Klopt deze formule? kan ik hem ook nog eenvoudiger maken?
F: Er komt een negatief getal uit, dus dan bespaar je niet als je dit bloed mengt ??
G: met grafische rekenmachine gedaan:
Y1 = 1-(6-5x(1-p)^5 / 5
Y2 = 0
GRAPH, SCD CALC
x = 0,0275
En is de x hier dan p ? dus dan zou het bij 27.5 procent zijn

[arie]

A en B: OK

C: hier neem je opeens p=0.01, dit moet niet: blijf gewoon in p werken (met p als variabele, later kunnen we die altijd nog een waarde geven).
Je had bij A en B al uitgerekend dat:
[ A ] P1 = kans dat je 1 test nodig hebt = (1-p)^5
[ B ] P6 = kans dat je 6 tests nodig hebt = 1-(1-p)^5
het verwachte aantal tests is daarom:
1 * P1 + 6 * P6 = 1 * (1-p)^5 + 6 * (1-(1-p)^5) = ...
(opmerking: als ik hierin p=0.01 invul kom ik overigens uit op 1.245...)

D: Blijf ook hier met p werken.
Als je zonder mengschema test heb je 5 tests nodig (voor iedere persoon 1)
Als je met schema test heb je gemiddeld 6 - 5 * (1-p)^5 tests nodig (zie [C])
Je bespaart met het schema dus:
5 - (6 - 5 * (1-p)^5) = .... tests
(noot: werk hier de buitenste 2 haakjes weg, de binnenste 2 (1-p)^5 mag/moet je wel laten staan)

E: De formule van [D] geeft de besparing voor 5 personen, per persoon is dit dus
(5 * (1-p)^5 - 1)/5 = (1-p)^5 - (1/5)

F: klopt: vul in de formule van [D] of [E] p=0.40 in.
De besparing is dan negatief, dit betekent dat het schema meer kost dan iedereen individueel testen.

G: met x=0,0275 bedoel je wsch x=0,275 en dit klopt.
Dus bij p=0.275... ligt het omslagpunt,
het mengschema levert dus een (positieve) besparing voor p < 0,275.

Noot: je hebt het hier met je GR opgelost, het alternatief is dat je de besparing = 0 stelt:
(1-p)^5 - (1/5) = 0
dus
(1-p)^5 = (1/5)
dus
(1-p) = (1/5)^(1/5) = ...
dus
p = ....


Hoe ver ben je gekomen met de tweede vraag?

[mariekeeee]

Okee, dankjewel Bij de volgende opdracht zijn dit mijn antwoorden :

A: 0,94^n
B: 1 – 0,94^n
C: Bij 10.000 deelnemers en n = 5, zijn er 2000 groepen.
Bij vraag 3 is al berekend dat er in totaal 4660 tests nodig zullen zijn bij 10.000 deelnemers en
n = 5. Het aantal benodigde tests per groep zal dus zijn: 4.660 / 2.000 = 2,33
Als je in de formule van vraag 5c n = 5 invullen, krijg je de volgende berekening:
5 + 1 – 5 x (0,94)^5 – 1 = 2,330479888 = ± 2,33
D: 5 x (0,94)^5 – 1 = 2,669520112 = ± 2,67
5 – 2,67 = 2,33
E: 1 – (n + 1 – n x (0,94)^n) / n
F: grafische rekenmachine gebruikt:

Y1 = 1 – (n + 1 – n x (0,94)^n) / n
GRAPH
2ND → CALC
4: maximum
x = 4,6408278

De x op de grafische rekenmachine is in dit geval n.
Als 6% van de bevolking positief reageert op de test, wordt er dus maximaal op tests
bespaard bij een groepsgrootte van 4,6408278. Omdat het hier om mensen gaat,
moeten we dit afronden op een heel getal. De besparing is dus maximaal bij een
groepsgrootte van 5 personen.

[arie]

A en B: OK

C:
Bij C gebruik je weer concrete getallen, maar is het niet de bedoeling dat je de formule afleidt net als bij de eerste vraag:
verwachte aantal tests = 1 * (kans op 1 test) + (n+1) * (kans op n+1 tests)
De kansen had je al berekend bij A en B, dus dit wordt:
verwachte aantal tests = 1 * (0.94^n) + (n+1) * (1 - 0.94^n)
Wat krijg je als je hier de producten uitwerkt (= de haakjes wegwerkt) ?

D:
Dit is dan n - (n + 1 - n * (0,94)^n), werk hier ook weer de buitenste haakjes weg.
Wat krijg je dan?

E:
1 – (n + 1 – n x (0,94)^n) / n
Klopt, maar ook deze formule kan nog iets verder vereenvoudigd worden, zie vraag D

F:
Dit is bijna correct. Je schrijft:
"Omdat het hier om mensen gaat, moeten we 4,6408278 afronden op een heel getal. De besparing is dus maximaal bij een groepsgrootte van 5 personen."
De exacte n-waarde die je vond voor maximum besparing klopt, het klopt ook dat we een geheel getal zoeken, maar het is niet zo dat de afronding van de exacte n-waarde de maximum besparing levert (je dus... in bovenstaande zim).
De maximum besparing voor gehele n kan liggen bij n=4 OF n=5 (net links of net rechts van het exacte maximum). Dat hangt af van de vorm van de grafiek, die we nu nog niet precies genoeg kennen.
In praktijk kan je het beste beide waarden gewoon uitrekenen en kijken welke het grootst is.
Ik kwam uit op de besparingen bij:
n=4: 0.5307...
n=5: 0.5339...
en in dit geval ligt de grootste besparing inderdaad bij n=5

[mariekeeee]

Bij C is de waarde van n niet van belang? Ik snap C niet.
En bij d wordt het dan n - n + 1 -n * (0,94^n) ?

Alvast bedankt

[arie]

Omdat je tijd dringt hierbij wat sneller dan normaal op dit forum de uitgebreide antwoorden:

[opgave C]
Als je een aantal waarden hebt met bijbehorende kans op elke waarde,
dan is de verwachte waarde = de gemiddelde waarde = de SOM van ( (elke waarde) * (de kans op die waarde)).
Mogelijk heb je deze formule ooit gehad (of iets wat daarop lijkt):



(zo niet, dan kan je het ook zien als in het volgende voorbeeld).

Voorbeeld:
Als je op een tropisch eiland woont waar:
- de kans op 5 uur zon per dag = 0,1
- de kans op 6 uur zon per dag = 0,3
- de kans op 7 uur zon per dag = 0,6
dan is de verwachte waarde van het aantal uren zon per dag = het gemiddelde aantal uren zon per dag =
5*0,1 + 6*0,3 + 7*0,6 = 0,5 + 1,8 + 4,2 = 6,5.
(controleer dit zo nodig door 10 dagen te bekijken met uren zon resp 5,6,6,6,7,7,7,7,7,7: wat is hiervan het gemiddelde?)

Ditzelfde doe je in je opgave:
- de kans op 1 test = 0.94^n
- de kans op (n+1) tests = 1 - 0.94^n
De verwachte waarde van het aantal tests is daarom:
1*0.94^n + (n+1)*(1 - 0.94^n)=
(werk haakjes weg):
= 0.94^n + n(1 - 0.94^n) + 1*(1 - 0.94^n)
(werk nog meer haakjes weg):
= 0.94^n + n*1 - n*0.94^n + 1*1 - 1*0.94^n
= 0.94^n + n - n*0.94^n + 1 - 0.94^n
(0.94^n - 0.94^n = 0):
= n - n*0.94^n + 1
= n + 1 - n * 0,94^n.
en dit is wat we moesten nagaan.

De verwachting van het gemiddelde aantal tests is dus inderdaad afhankelijk van n:
voor elke waarde van n kan je de verwachte waarde
n + 1 - n * 0,94^n
uitrekenen.


[opgave D]:
Bij [D] hebben we:
n - (n + 1 - n * (0,94)^n)
je kan dit zien als:
n + (-1)*(n + 1 - n * (0,94)^n)
= n + (-1)*n + (-1)*1 - (-1)*n * (0,94)^n
= n - n - 1 + n * (0,94)^n
= -1 + n*(0.94)^n
= n*(0.94)^n - 1

(het minteken voor je groep klapt alle tekens van die groep om,
bv: 10-(2+2-1) = 10-2-2+1 = 7
ter controle: 10-(2+2-1) = 10-(4-1) = 10-3 = 7)

[mariekeeee]

Okê! Heb het door, is helemaal gelukt nu

[AnneV.]

Hallo Arie,

Zou je eventueel vraag 5. nog uit kunnen leggen van het bevolkingsonderzoek? 4 Is nu voor mij duidelijk, maar 5 nog niet.
Heel erg bedankt trouwens voor de uitleg van 4, dat heeft mij heel erg geholpen.
Ook wij moeten het morgen in leveren...
Gr

[arie]

Alle antwoorden staan hierboven al.

Wat extra toelichting:

5A:
de kans dat iemand positief is is p = 0.06
de kans dat iemand NIET positief is is 1 - p = 0.94
de kans dat n personen allemaal NIET positief zijn is
P(1e niet positief EN 2e niet positief EN .... EN n-de niet positief)
= P(1e niet positief) * P(2e niet positief) * ... * P(n-de niet positief)
= 0.94 * 0.94 * ... * 0.94
(dit zijn n factoren 0.94)
= 0.94^n

5B:
Als iedereen in een groep van n mensen negatief is, hoef je die groep maar 1 keer te testen:
als de groepstest negatief is, dan weet je dat iedereen in die groep negatief is.

Als 1 of meer personen positief is, dan is de groepstest positief (= 1 test)
Daarna moet je alle n personen individueel testen op precies te weten wie er ziek is / zijn (= n testen).
In totaal heb je in dit geval dus n + 1 testen nodig.
(natuurlijk wel voor n groter dan 1)

Bij onderdeel A hebben we uitgereken hoe groot
de kans is dat n personen allemaal niet positief zijn
=
de kans dat n personen allemaal negatief zijn.
=
0.94^n

De kans dat 1 of meer personen in een groep van n personen WEL positief zijn
=
1 - de kans dat n personen allemaal niet positief zijn
=
1 - 0.94^n


5C:
Is hierboven al uitgebreid uitgewerkt.
Het verwachte aantal uit te voeren testen is dus
n + 1 - n*0.94^n


5D:
Als we iedereen in de groep van n zouden testen moeten we altijd n testen uitvoeren.
Met de groeptest moeten we naar verwachting n + 1 - n*0.94^n testen uitvoeren,
dit zijn er n - (n + 1 - n*0.94^n) minder.
Als we dit vereenvoudigen zien we:
n - (n + 1 - n*0.94^n)
=
n - n - 1 + n*0.94^n
=
n*0.94^n - 1


5E:
Als de verwachte besparing per groep van n personen gelijk is aan n*0.94^n - 1,
dan is de verwachte besparing per persoon =
(n*0.94^n - 1) / n
=
0.94^n - (1/n)


5F:
Is hierboven al volledig uitgewerkt.
Het punt dat ik maakte over afronding kan je nagaan door p = 0.12 te kiezen, waardoor 1 - p = 0.88
Dan vind je de maximum besparing bij n = 3.49...
Afgerond is dit n = 3 personen, maar als we de waarden uitrekenen:
n = 3: besparing per persoon = 0.88^3 - 1/3 = 0.3481....
en bij
n = 4: besparing per persoon = 0.88^4 - 1/4 = 0.3496....
Dus als n een geheel getal is, dan bereiken we in dit geval het maximum bij n = 4, en dus NIET bij n = 3.
Dit kan gebeuren als een functie niet symmetrisch is rond het maximum.
Deze situatie zal niet vaak optreden, maar voor de zekerheid zou ik beide waarden (de 2 gehele n-waarden aan weerszijden van het maximum) toch even checken.


Komen jullie hiermee verder?