poolvorm naar cartesisch

[jcochuyt]

hoe zet je deze cirkel in poolvorm: r= 6cost+8sint
om naar cartesiche vorm? ( dus de parameter elimineren)

[SafeX]

Stel je hebt een punt P(x,y) op je voerstraal r. Maak een tekening!
Dan kan je in je figuur een rechthoekige driehoek 'zien', met rechthoekszijden x en y.
De hoek is ... ?
Wat zijn x en y als functie van die hoek?

[jcochuyt]

de x en de y:
x=rcos(t)
y=rsin(t)

sinds dit een cirkel is in poolvorm, de opdracht is dit om te zetten naar x²+y²=r²
ik dacht van beide vergelijkingen te kwadrateren en ze dan op te tellen
maar dan krijg ik na wat vereenvoudigen: x²+y²=2(16+5sin2t)

ik slaag er dus niet in om deze cirkel niet in functie van de hoek te schrijven

misschien is er nog een andere manier om dit om te zetten?

***bewerkt:
ik heb de kromtestraal eens berekend en kom uit op 5
dus de straal van de cirkel is 5; dus nu zou ik nog een manier vinden om de coordinaten van het middelpunt te bepalen.

[arie]

hoe zet je deze cirkel in poolvorm: r= 6cost+8sint
om naar cartesiche vorm?

Ik denk dat hier al een probleem zit:
r = 6cos(t) + 8sin(t)
dit is niet de vergelijking voor een cirkel maar voor een sinusoide.
(plot zo nodig de grafiek eens van r als functie van t)

Wat is de opgave precies??
(Bijvoorbeeld: punt P = ( 6, 8 ), zet deze coördinaten om naar poolvorm ??)

Meestal hebben we bij deze opgaven:
- ofwel de cartesische coördinaten x en y van een punt, die je moet omzetten naar poolvorm r en t
- ofwel de coördinaten in poolvorm r en t, die je moet omzetten naar carthesisch.
r is de voorstraal en t (of theta) is de hoek met de positieve x-as.

Wat je hier schrijft klopt:

voor x en de y:
x = r cos(t)
y = r sin(t)

Dit is ook goed:

x² + y² = r²

want



Daardoor wordt (r positief):



Stel x = 6 en y = 8, wat vind je dan voor r ?

Nu de hoek t: wat vind je als je dit verder uitwerkt:
(hint: gebruik weer de formules die je hierboven zelf al gegeven had)



Komen we hier verder mee?

[jcochuyt]

De opgave heeft eigenlijk niet zozeer te maken met poolcoordinaten.

r=6cost+8sint is zeker een cirkel want de kromtestraal is een constante (=5). dit is moet dus de straal zijn van die cirkel.

de opgave is :
zet de poolcoordinaten r=6cost+8sint om naar de cartesische vorm van een cirkel: (x-a)²+(y-b²)=r²

(Antwoord:(x-3)²+(y-4)²=25)

het komt er eigenlijk op neer dat ik het middelpunt van de cirkel moet zoeken.

[SafeX]

de x en de y:
x=rcos(t)
y=rsin(t)

Vul nu r in bij x en y, wat krijg je ...

[jcochuyt]

x=(6cost+8sint)cost
y=(6cost+8sint)sint

[SafeX]

Mooi, we gaan nu de parameter t elimineren, hoe?
Je krijgt na haakjes verdrijven in beide verg het product ...sin(t)cos(t). Eens? Dit wijst op de formule sin(2t)= ...
Kan je nu ook in beide verg cos(2t) herkennen?

[jcochuyt]

dan is :

x=2(3cos²t+4sin2t)
y=2(4sin²t+3sin2t)

ik herken herken hier dan wel geen formule voor cos(2t)

[SafeX]

Welke formules voor cos(2t) ken je ...

[jcochuyt]

cos2t=cos²t-sin²t=1-2sin²t=2cos²t-1

[SafeX]

Mooi, schrijf cos^2(t)= ... en sin^2(t)= ... ,mbv 3e en 2e formule ...

[jcochuyt]

ok, na uitwerking krijg ik dus dit:

x=3+3cos2t+8sin2t
y=4-4cos2t+6sin2t

ik weet dus niet hoe je hier verder moet,ik heb geprobeerd alles om te zetten naar cos²t met Carnot maar dat kwam niet uit.

ik zie wel al een deel van de oplossing verschijnen ; (x-3);(y-4)

[SafeX]

x=3+3cos2t+8sin2t
y=4-4cos2t+6sin2t

Dit is niet goed, het moet zijn:

x=3+3cos(2t)+4sin(2t)
y=4-4cos(2t)+3sin(2t)

Ga dat zorgvuldig na!

We lossen nu op cos en sin, dwz druk beide uit in x en y ...

[jcochuyt]

oke ik heb het gevonden

x=3+3cos(2t)+4sin(2t)
y=4-4cos(2t)+3sin(2t)

beide vgl kwadrateren:

(x-3)²=9cos²2t+24sin2tcos2t+16sin²2t
(x-4)²=16cos²2t-24sin2tcos2t+9sin²2t

na optellen van beide vgl:

(x-3)²+(y-4)²=5² antw.

merci ik weet niet of jij nog aan een andere methode dacht?