2 reddingszwemmers moeten zwemmer redden.
1 rent en zwemt in rechte lijn, kortste weg.
2loopt een heel stuk over strand en duikt dan water in.
Strandpost staat 35 meter bij zee vandaan
Drenkeling 14m van de kust. Beweegt niet
Afstand Strandpost tot drenkeling langs kust is 75m
1 neemt kortste route
2 de snelste.
2 is sneller bij drenkeling. Hoeveel sneller.
Kom er niet uit. Mijn hulpjes hebben allemaal andere berekeningen.
Wie helpt?
Red mij
Re: Red mij
Is er ook bekend met welke snelheden de redders kunnen lopen en zwemmen?
Re: Red mij
Nee ik ga uit van 2, 17 'm per sec voor zwemmer en 4,1 'm per sec voor lopen
Re: Red mij
In dit plaatje is
S = strandpost
D = drenkeling
W = het punt waar de strandwacht het water in gaat
Definieer
de afstand TW = x
dan is
de afstand WR = 75-x
Volgens de stelling van Pythagoras is dan de afgelegde afstand over land:
\(SW = \sqrt{x^2 + 35^2}\)
en de afgelegde afstand in het water:
\(WD = \sqrt{(75-x)^2+14^2} = \sqrt{(x-75)^2+14^2}\)
Omdat
\(\text{afstand}=\text{snelheid} \times \text{tijd}\)
ofwel
\(\text{tijd}=\frac{\text{afstand}}{\text{snelheid}}\)
is de totale tijd t nodig om de drenkeling te bereiken:
\(t = t_{land} + t_{water} = \frac{\sqrt{x^2 + 35^2}}{v_{land}}+\frac{\sqrt{(x-75)^2+14^2}}{v_{water}}\)
waarbij gegeven:
- de snelheid over land \(v_{land} = 4.1\) m/s
- de snelheid in het water \(v_{water} = 2.17\) m/s
We hebben nu tijd t als functie f van x, het punt waar de strandwacht het water in gaat:
\(t = f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 35^2}}{4.1}+\frac{\sqrt{(x-75)^2+14^2}}{2.17}\)
Als de strandwacht in rechte lijn naar de drenkeling gaat, moet
de verhouding 35 : x gelijk zijn aan de verhouding 49 : 75
dus
\(x=\frac{35 \times 75}{49} = \frac{375}{7} \approx 53.57142857\)
en is de benodigde tijd:
\(t = f\left(\frac{375}{7} \right) = 27.40330390688976877434...\) seconden
Het minimum van t (= de snelste route) vinden we door f ' = de afgeleide functie van f nul te stellen en daaruit x op te lossen:
\(f'(x) = \frac{x}{4.1\cdot \sqrt{x^2 + 35^2}}+\frac{x-75}{2.17\cdot \sqrt{(x-75)^2+14^2}} = 0\)
Deze vergelijking kan je numeriek oplossen.
De reële oplossing tussen 0 en 75 is dan:
\(x = 67.5467557190699571970616...\)
en dan is
\(t = f(67.5467557190699571970616...) = 25.8640514656408674329897...\) seconden
Hier nog een lijstje met tijden:
Code: Selecteer alles
x: t = f(x):
---------------------------------------
0 43.69579192845729742399390802
1 43.24637383047758861119172704
2 42.80412591440570248693662892
3 42.36903123384502134874442490
4 41.94105668002375289411594710
5 41.52015351679962410263141251
6 41.10625810011852449123606003
7 40.69929276361861531925615501
8 40.29916684837936136965554747
9 39.90577785214491594241780469
10 39.51901267176733475601606826
11 39.13874891211132438169949359
12 38.76485623516981744375241901
13 38.39719772453855599995171266
14 38.03563124253144532032135029
15 37.68001075990929059575789834
16 37.33018764125953257107313704
17 36.98601187232809098739603646
18 36.64733321890849806445360463
19 36.31400231010506713270755368
20 35.98587164180147590037130912
21 35.66279649890910460287997087
22 35.34463579739438754459707423
23 35.03125284917037400769227422
24 34.72251605468519177040517944
25 34.41829952946679567569312422
26 34.11848367201962424915048293
27 33.82295568135365775756838479
28 33.53161003310422784802040314
29 33.24434892371863895343353275
30 32.96108269259053153862206638
31 32.68173023236128354567313710
32 32.40621939792415432466704870
33 32.13448742500375320601163267
34 31.86648136958114490397671014
35 31.60215857993219211920569428
36 31.34148721368118860039639879
37 31.08444681308065788885628476
38 30.83102895274891872861051260
39 30.58123797536818995942635332
40 30.33509183240768930804606765
41 30.09262304883016596967976501
42 29.85387983300982687305924576
43 29.61892735577825439407906989
44 29.38784922566431000160076167
45 29.16074919103974701594768263
46 28.93775310404696022651850307
47 28.71901118586778427018272496
48 28.50470063805063350837565219
49 28.29502865013952853568744497
50 28.09023585953071607809627261
51 27.89060032494952820755361632
52 27.69644207958210172624342074
53 27.50812833275295754356739321
54 27.32607938864327772607418638
55 27.15077534471325630122658153
56 26.98276361805424007746382450
57 26.82266732035788489772327853
58 26.67119445535284100142065427
59 26.52914783816353712214765587
60 26.39743552356203914497291919
61 26.27708136694001555544511326
62 26.16923511452722598217389949
63 26.07518111626325848476797699
64 25.99634437137462786282514014
65 25.93429216514352430850929705
66 25.89072907767357491677013956
67 25.86748273083712042456715667
68 25.86647743977007487919548734
69 25.88969316738262756362089451
70 25.93910809881026189558120421
71 26.01662497020093327127110752
72 26.12398403697671336623457109
73 26.26266894481463894618580125
74 26.43381502922473216338436476
75 26.63813163157562180923116811
Re: Red mij
Dank je wel, ik ga het eens goed bekijken.